2025年高考数学必刷题分类：第20讲、三次函数的图象和性质（教师版）.pdf

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第20讲三次函数的图象和性质

知识梳理

1、基本性质

32

abcdRa0

设三次函数为：f(x)axbxcxd(、、、且)，其基本性质有：

性质1：①定义域为．②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单

RR

调性和图像：

a0a0

0000

图像

性质2：三次方程f(x)0的实根个数

由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来

解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数32

f(x)axbxcxd(a0)

其导函数为二次函数:2，

f(x)3ax2bxc(a0)

判别式为：△22，设的两根为、，结合函数草图易

4b12ac4(b3ac)f(x)0xx

12

得：

(1)若2，则f(x)0恰有一个实根；

b3ac0

(2)若2,且f(x)f(x)0，则f(x)0恰有一个实根；

b3ac0

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(3)若2,且f(x)f(x)0，则f(x)0有两个不相等的实根；

b3ac0

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(4)若2,且f(x)f(x)0，则f(x)0有三个不相等的实根.

b3ac0

12

说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即

f(x)0yf(x)x

f(x)在R上为单调函数（或两极值同号），所以2（或2，且

b3ac0b3ac0

f(x)f(x)0）;

12

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x

(5)