高数第三章微分中值定理.pptVIP

第一节微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理四、小结一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理柯西定理的几何意义:例5.试证至少存在一点例5.试证至少存在一点内容小结作业又f(0)=1,故从而例.证明若f(x)在[a,b]上可微，则至少存在一点??(a,b),使证(分析):与拉格朗日中值定理的式子比较可知，可作辅助函数1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理2)设个根,它们分别在区间上.方程2.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.使证:法1用柯西中值定理.则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此即分析:使法2令则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在*中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理第三章微分中值定理与导数的应用中值定理第二章我们讨论了微分法，解决了曲线的切线、法线及有关变化率问题。这一章我们来讨论导数的应用问题。我们知道，函数在区间上的增量可用它的微分来近似计算其误差是比高阶的无穷小是近似关系是极限关系,都不便应用我们的任务是寻求差商与导数的直接关系，既不是极限关系，也不是近似关系。对此，Lagrange中值定理给出了圆满的解答：——导数应用的理论基础本章我们先给出Rolle定理（它是Lagrange定理的特殊情况），由特殊过渡到一般来证明Lagrange定理和Cauchy定理，有了Cauchy定理就可以给出Taylor中值定理及L，Hospital法则，这就是本章理论部分的主要内容。理论部分结构图Lagrange定理特例Rolle定理推广Cauchy定理推广Taylor定理本章的导数应用部分就是以此为基础展开讨论的，利用Lagrange定理给出了可导函数的单调性和凹凸性的判定法则，可以讨论可导函数取得极值的条件；有了L，Hospital法则，可以进一步讨论等各种类型的未定式的极限；此外利用中值定理和单调性还可证明一些不等式。重点微分中值定理L，Hospital法则Taylor公式求函数的极值和最值难点中值定理L，Hospital法则的运用利用中值定理证明不等式基本要求①正确理解和掌握R、L、C、T定理及它们之间的关系②熟练运用L—法则求未定式的极限③掌握函数展开成Taylor公式的方法，熟记的Taylor公式费马(Fermat)引理且存在证:设则证毕定义：导数等于零的点为函数的驻点（或临界点，稳定点）一、罗尔(Rolle)定理罗尔定理如果函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b)则在(a,b)内至少存在一点?(a?b),使得f?(?)=0.罗尔定理的几何意义：若连续曲线y=f(x)在AB上处处有不垂直于x轴的切线，且f(x)在A、B两点的纵坐标值相等，则在AB上至少可找到一点，使曲线在该点的切线平行于x轴(或平行于弦AB)。)__)xy0ab??y=f(x)证证毕注意:1)定理的条件不全具备,结论不一定成立.例如,2）罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；使3)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:设证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.4)要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点，如在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而但却不易找到使但根据定理，这样的点是存在的。即便如此，我们将会看到