2024_2025学年新教材高中数学第七章概率1.4随机事件的运算学案北师大版必修第一册.docVIP

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随机事务的运算

新课程标准解读

核心素养

了解随机事务的并、交与互斥、对立的含义，能结合实例进行随机事务的并、交运算

数学抽象、数学运算

中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参与奥运会乒乓球女子单打竞赛，“甲夺得冠军”为事务A，“乙夺得冠军”为事务B.

[问题]那么“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”用事务A与B如何表示？

学问点随机事务的运算

1．交事务(积事务)

定义

一般地，由事务A与事务B都发生所构成的事务，称为事务A与事务B的交事务(或积事务)

含义

A与B同时发生

符号表示

A∩B(或AB)

图形表示

2．并事务(和事务)

定义

一般地，由事务A和事务B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事务，称为事务A与事务B的并事务(或和事务)

含义

A与B至少一个发生

符号表示

A∪B(或A＋B)

图形表示

3．互斥事务

定义

一般地，不能同时发生的两个事务A与B(A∩B＝eq\a\vs4\al(?))称为互斥事务

含义

A与B不能同时发生

符号表示

A∩B＝?

图形表示

4．对立事务

定义

若A∩B＝eq\a\vs4\al(?)，且A∪B＝eq\a\vs4\al(Ω)，则称事务A与事务B互为对立事务，事务A的对立事务记作eq\a\vs4\al(\x\to(A))

含义

A与B有且仅有一个发生

符号表示

A∩B＝?，A∪B＝Ω

图形表示

eq\a\vs4\al()

1．假如A与B相互对立，则A与B互斥，但反之不成立．

2．(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)表示的是Aeq\x\to(B)与eq\x\to(A)B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生．

同数的加、减、乘、除混合运算一样，事务的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)可简写为Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B.

1．一枚骰子掷一次，记事务A＝{出现的点数为2}，事务C＝{出现的点数为偶数}，事务D＝{出现的点数小于3}，则事务A，C，D有什么关系？

提示：A＝C∩D.

2．命题“事务A与B为互斥事务”与命题“事务A与B为对立事务”有什么关系？(指充分性与必要性)

提示：依据互斥事务和对立事务的概念可知，“事务A与B为互斥事务”是“事务A与B为对立事务”的必要不充分条件．

1．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事务是()

A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”

B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

D．“至少有一个黑球”与“都是红球”

解析：选CA中的两个事务能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事务也可同时发生，故不互斥；D中两个事务是对立的，故选C.

2．掷一颗骰子，统计正面对上的点数．记“出现5点”＝A，“出现3点”＝B，“出现1点”＝C，则“出现奇数点”这一事务可表示为________．事务A∪B与事务C是否互为对立事务，________(填“是”或“否”).

答案：A∪B∪C否

3．有甲、乙两台机床，记“甲正常工作”＝A，“乙正常工作”＝B，则AB表示________，“甲不能正常工作”可记为________．

答案：“甲、乙同时正常工作”eq\o(A,\s\up6(－))

事务关系的推断

[例1](链接教科书第191页练习1题)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参与演讲竞赛，推断下列每对事务是不是互斥事务？假如是，再推断它们是不是对立事务：

(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；

(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；

(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；

(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．

[解]从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．

(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事务；但是当选取的结果是2名女生时，该两事务都不发生，所以它们不是对立事务．

(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事务“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事务．

(3)“至少1名男生”与“全是女生”不行能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事