第4讲 零点问题-解析版-2023届二轮复习《导数与解析几何》必掌握问题.docx

第4讲零点问题

典型例题

运用分离参数法求解含参数的零点问题

【例1】已知函数.

（1）若,求证:当时,.

（2）若在上只有一个零点,求的值.

【分析】第(1)问是一个恒成立问题,即证明当时,恒成立.只需证明函数在区间上的最小值是1.这样把恒成立问题转化成函数在区间上的最值问题,利用导数可以解决这个问题.本题,并不能直接求出函数的零点,此时可以通过的导数,先研究的单调性,再解决的最值问题.

解决恒成立问题的另一个思路是对原函数进行整理变形,构造一个新的函数,通过研究新函数的图像性质,解决原函数的问题.构造新函数的方式有很多,作差、作商等,需要根据函数的特点选择合适的方法.观察到,且,我们可以将转化成,研究函数的性质解决问题.

第(2)问是函数的含参零点问题,常见的解法有:①分离参数法,将转化为,然后利用函数的单调性得到的大致图像,再根据曲线与直线只有一个公共点,利用函数与方程的关系得到的值.②带参讨论法,根据已知条件,在上只有一个零点等价于在上只有一个零点,然后研究的单调性,再根据的最小值分类讨论,排除不符合题意的参数的范围,进而得到的值.

【解析】（1）解法一当时,,则.

令,则,令,则.

当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增.因此

故函数在上单调递增.所以当时,.

解法二当时,等价于.

设函数,则

当时,,所以在上单调递减.而,故当时,,即.

(2)解法一分离参数法.

当时,在上没有零点,所以.

由得,所以在上只有一个零点等价于曲线与直线在上只有一个公共点.

令,则,所以.

当时,在上单调递增;当时,,在上单调递减.所以在上的最大值为.

因为,且当时,.所以在上只有一个零点时,.

解法二等价转化后带参讨论.

设函数,则当且仅当在上只有一个零点时在上只有一个零点.

当时,,则没有零点,不合题意.

当时,.于是,当时,;当时,.所以在上单调递减,在上单调递增.故是在上的最小值.

①当,即时,在上没有零点.

②当,即时,在上只有一个零点.

③当,即时,因为,所以在上有一个零点,由(1)知,当时,,所以

故在上有一个零点,因此在上有两个零点.

综上所述,当在上只有一个零点时,.

【点睛】第(2)问的两种解法分别从分离参数和分类讨论来研究已知函数的零点个数,进而求解参数(范围),这也是我们解决此类问题的常用方法.在应用的过程中,我们需要注意以下几点:

(1)分离参数法可以将复杂问题简单化,但这需要我们掌握一些简单的极限知识,特别是对想要在压轴题上有所发挥的学生非常有必要.比如解法一中要注意说明当时,,否则欠严谨.

(2)利用分类讨论的方法,难点在于对分类讨论时机的把握和分类时分界点位置的准确判断.这不仅要考虑导数值的正负号,而且要兼顾题目中的参数,必要时还要对参数值进行放缩.

（3）函数与方程思想的应用.遇到函数、导数、不等式的综合问题时,我们要了解由幂函数、指数函数和对数函数两两组合的新函数,熟悉掌握它们的图像和性质.

分类讨论判断函数零点的个数

【例2】已知函数,设,当函数有且只有一个零点时,求的取值范围.

【分析】

函数的零点问题可以转化为方程的解的问题,还可以从图形上看作函数图像与轴的交点情况.当方程比较复杂时,又可以将方程适当变形,转化为其他方程的解的问题,或者对应的新函数的图像与轴的交点问题.当函数中含有参数时,对函数的研究往往要用到分类讨论的思想方法.

【解析】解法一直接构造差函数,分类讨论.

由,得

令,得.关于方程的零点情况,可分以下几种情况讨论:

①当,即时,函数,无零点.

②当,即时,,则函数在上单调递增.因为,所以函数在上有且仅有一个零点.

③当,即时,令,得.

当变化时,与在上的变化情况见表.

表

0

极小值

由表可知,

当时,函数有一个零点.因为,则,所以.

当时,恒成立,无零点.

当时,因为,所以,则.此时极小值点.因为,所以在上有且仅有一个零点.

下证.

设,则

令,则

所以在上单调递增.

因为,所以,即.又因为,所以,所以在上有且仅有一个零点.由的单调性知,在上有两个零点,不合题意.

综上所述,实数的取值范围是或.

解法二分类讨论,参变分离构造新函数.

由题意,,令,则.

当时,,函数无零点.

当时,,即.令,则.令,得.

当变化时,在上的变化情况见表.

表

1

0

极小值

当函数有且只有一个零点时,直线与有且只有一个公共点.由的单调性知,在上有最小值,故当时满足题意.

当时,,即,则,所以

故

同理,由,得,则,所以

故

所以当时,直线与在上有且只有一个公共点.

②下证在上,当时,.

由于在上有最小值,所以对任意,取,则

故对于任意,使得,得证.

③下证在上,当时,.

首先证明