2024_2025学年新教材高考数学第三章圆锥曲线的方程3.2抛物线的简单几何性质学案新人教A版选择性必修第一册.docxVIP

PAGE

PAGE9

抛物线的简洁几何性质

【学习目标】

课程标准

学科素养

1.驾驭抛物线的几何性质．(重点)

2.驾驭直线与抛物线的位置关系的推断及相关问题．(重点)

3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)

1、直观想象

2、数学运算

3、逻辑推理

【自主学习】

1．抛物线的几何性质

标准方程

y2＝2px(p＞0)

y2＝－2px(p＞0)

x2＝2py(p＞0)

x2＝－2py(p＞0)

图形

性质

焦点

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))

准线

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

对称轴

顶点

离心率

e＝

2.焦点弦

直线过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)，故|AB|＝.

3．直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线有三种位置关系：、和．

设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.

①k＝0时，直线与抛物线只有交点；

②k≠0时，Δ＞0?直线与抛物线?有公共点．

Δ＝0?直线与抛物线?只有公共点．

Δ＜0?直线与抛物线?公共点．

【小试牛刀】

1．抛物线关于顶点对称．()

2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．()

3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．()

4．抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p．()

5．抛物线y＝－eq\f(1,8)x2的准线方程为x＝eq\f(1,32)．()

【经典例题】

题型一抛物线性质的应用

把握三个要点确定抛物线的简洁几何性质

(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．

(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．

(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.

例1(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2eq\r(3)，则抛物线的方程为________．

(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．

[跟踪训练]1已知抛物线y2＝8x.

(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；

(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．

题型二直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线交点问题的解题思路

(1)推断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，留意探讨二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式推断方程解的个数．

(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切．

例2已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．

[跟踪训练]2若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB.

题型三中点弦及弦长公式

“中点弦”问题解题方法

例3已知抛物线方程为y2＝2px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，

[跟踪训练]3过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．

题型四抛物线的综合应用

例4求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．

[跟踪训练]4如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．

(1)求抛物线的方程及其准线方程；

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．

【当堂达标】

1．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为()

A．(4eq\r(2)，±2) B．(±4eq\r(2)，2)

C．(±2,4eq\r