湖南省2023_2024学年高二数学下学期寒假检测开学考试含解析.docxVIP

2024年高二寒假作业检测

数学

时量：120分钟满分：150分

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合，，则（）

A． B．

C． D．

2．若，则的最小值是（）

A．2 B．

C． D．3

3．已知3、4、5、7、五个数据，均值，若再增加2、8两个数后，这七个数据的均值和方差应该是（）

A．5，2 B．5，3

C．5，4 D．6，2

4．已知，则（）

A． B．

C． D．

★5．设，且，若能被13整除，则的可能取值为（）

A．0 B．1

C．11 D．12

★6．甲、乙两人要在一排7个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（）

A．6种 B．12种

C．15种 D．30种

7．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上．若，，则到的距离等于（）

A．1 B．2

C．3 D．4

8．已知函数及其导函数定义域均为，满足，且为奇函数，记，其导函数为，则（）

A．0 B．1

C． D．2

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9．且，则实数的值为（）

A． B．

C． D．

★10．关于曲线，下列叙述正确的是（）

A．当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆

B．当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的双曲线，且焦距为4

C．当时，曲线表示的图形是一个椭圆

D．当或时，曲线表示的图形是双曲线

11．下列命题中正确的是（）

A．若，，则

B．若复数满足，则

C．若复数为纯虚数，则

D．若复数满足，则的最大值为

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

★12．已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为______．

13．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为______．

14．已知函数若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，则的取值范围是______．

四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本题满分13分）

在中，内角所对的边分别为，且．

（1）求角的大小；

（2）若，且的面积为，求的周长．

16．（本题满分15分）

如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的平面角的正弦值．

17．（本题满分15分）

已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求证：．

18．（本题满分17分）

设分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线与的右支交于，两点，过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为．

（1）求双曲线的方程．

（2）当时，求实数的值；

（3）设点关于坐标原点的对称点为，当时，求面积的值．

19．（本题满分17分）

某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束；否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败则下一次成功的概率是．记消费者甲第一次获胜的概率为，数列的前项和，且的实际意义为前次游戏中平均获胜的次数．

（1）求消费者甲第2次获胜的概率；

（2）证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖．

长郡中学2024年高二寒假作业检测

数学参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

答案

B

D

C

D

D

B

B

D

ACD

AD

AD

一、二、选择题

1．B【解析】，，，故选B．

2．D【解析】由题意，得，当且仅当时，取等号，故的最小值为3．故选D．

3．C【解析】因为3、4、5、7、五个数据，均值，所以，故，则七个数据的均值为，七个数据的方差为．故选C．

4．D【解析】设，则，，从而．故选D．

5．D【解析】当能被13整除时，，能被13整除，且能被13整除，

也能被13整除，因此能被整除时可取值12，故选D．

6．B【解析】一排共有7个座位，现有两人就坐，故有5个空座．

要求每人左右均有空座，

在5个空座的中间4个空中插入2个座位让两人就坐，即有种坐法．故选B．

7．B【解析】取的中点，连结．过作于点，则，

又