广东省惠州市华南师范大学附属惠阳学校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷.docxVIP

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

广东省惠州市华南师范大学附属惠阳学校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（???）

A． B． C． D．

2．已知向量，，若与共线，则实数（????）

A． B． C．1 D．2

3．已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（????）

A． B．

C． D．

4．已知向量，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（????）

A． B．1 C． D．

6．已知在直角中，角所对边分别为，若且满足，，且点在上，则的值为（????）

A． B． C． D．

7．欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”.1735年，他提出公式：复数是虚数单位.已知复数，设，则的值可能是（????）

A． B． C． D．

8．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知复数，，则（????）

A．的虚部为1 B．为纯虚数

C． D．在复平面内对应的点位于第一象限

10．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则不可能为（????）

A．等腰直角三角形 B．等边三角形

C．锐角三角形 D．钝角三角形

11．如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（????）

A．

B．当时，

C．面积的最大值为

D．游览路线最长为

三、填空题

12．已知向量和向量的夹角为30°，，，则．

13．已知是虚数单位，复数，则|z|＝．

14．在中，，，则的值为．

四、解答题

15．设，是两个不共线的向量，已知，，．

(1)求证：，，三点共线；

(2)若，且，求实数的值．

16．已知，.

(1)求；

(2)求向量在向量上的投影向量的模．

17．△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且.

(1)求角A的大小；

(2)若，求△ABC的周长的值.

18．养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知．

(1)求岸线上点A与点B之间的直线距离；

(2)如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？

19．对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关.

(1)判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.

①，；

②，，；

(2)已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.

(3)已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：

①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；

②如果两个等式，同时成立，其中，则.

答案第=page11页，共=sectionpages22页

答案第=page11页，共=sectionpages22页

《广东省惠州市华南师范大学附属惠阳学校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

C

A

A

C

B

B

A

BCD

BCD

题号

11

答案

ACD

1．D

【分析】利用复数的乘法化简可得结果.

【详解】.

故选：D.

2．C

【分析】先求得的坐标，再根据向量与共线求解.

【详解】已知向量,,所以，

因为与共线，所以，解得：.

故选：C

3．A

【分析】取为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.

【详解】在中，取为基底，

因为点分别为的中点，，

所以，

所以.

故选：A.

4．A

【分析】根据数量积的定义结合充分条件、必要条件的概念可得结果.

【详解】由可得，故，所以.

由可得，故，而方向不一定相同，故.不能得到.

综上得，“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

5．C

【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.

【