区间类型动态规划.pptVIP

当OP=‘*’完美解决初始值Fmax(i,i)=num(i)Fmin(i,i)=num(i)1=i=k=j=n空间复杂度:O(n2)时间复杂度:先要枚举每一条边为O(n)，然后动态规划为O(n3)，因此总为O(n4)。215有一个n片荷叶正好在一凸多边形顶点上有一只小青蛙恰好站在1号荷叶的点求小青蛙想通过最短的路程遍历所有的荷叶一次且仅一次的最短路径。4给出N个点的坐标3小青蛙可以从一片荷叶上跳到另外任意一片荷叶上青蛙的烦恼分析一个简单例子最优遍历方法为：1,2,3,4,5,10,9,8,7,6(图中红线)D=d(1,5)+d(5,10)+d(6,10)=2*(82+42)1/2+8=25.889分析性质：青蛙遍历的路径不会相交。上图中图2的路径比图1要短。证明：图1:D1=d(1,3)+d(2,3)+d(2,4) 图2:D2=d(1,2)+d(2,3)+d(3,4) 要证明D1D2,只要证明d(1,3)+d(2,4)d(1,2)+d(3,4) 连接两边，见图3，由三角形的三边关系定理即可证明。区间类动态规划合并：意思就是将两个或多个部分进行整合，当然也可以反过来，也就是是将一个问题进行分解成两个或多个部分。特征：能将问题分解成为两两合并的形式求解：对整个问题设最优值，枚举合并点，将问题分解成为左右两个部分，最后将左右两个部分的最优值进行合并得到原问题的最优值。有点类似分治算法的解题思想。典型试题：整数划分，凸多边形划分、石子合并、多边形合并、能量项链等。合并类动态规划的特点整数划分给出一个长度为n的数要在其中加m-1个乘号，分成m段这m段的乘积之和最大mn=20有T组数据，T=10000 贪心法尽可能平均分配各段，这样最终的数值将会尽可能大。但有反例。如191919分成3段 19*19*19=6859 但191*91*9=156429，显然乘积更大。将一个数分成若干段乘积后比该数小，因为输入数不超过20位，因此不需高精度运算。证明：假设AB分成A和B,且A,B10,则有AB=10*A+BA*B(相当于B个A相加)同理可证明A,B为任意位也成立动态规划可以先预处理出原数第i到j段的数值A[i,j]是多少，这样转移就方便了，预处理也要尽量降低复杂度。F[i，j]表示把这个数前i位分成j段得到的最大乘积。F[i,j]=F[k,j-1]*A[k+1,i],1ki=n,j=m时间复杂度为O[mn2]由于有10000组数据，因此估计时间复杂度为10000*203=8*107至于说输出，记录转移的父亲就可以了。石子合并在一园形操场四周摆放N堆石子(N≤100)；现要将石子有次序地合并成一堆；规定每次只能选相临的两堆合并成一堆,并将新的一堆的石子数,记为该次合并的得分。选择一种合并石子的方案,使得做N-1次合并,得分的总和最少选择一种合并石子的方案,使得做N-1次合并,得分的总和最大示例贪心法分析假设只有2堆石子，显然只有1种合并方案如果有3堆石子，则有2种合并方案，((1,2),3)和(1,(2,3))如果有k堆石子呢？不管怎么合并，总之最后总会归结为2堆，如果我们把最后两堆分开，左边和右边无论怎么合并，都必须满足最优合并方案，整个问题才能得到最优解。如下图：Fmax(i,j)表示将从第i堆石子合并到第j堆石子的最大的得分Fmin(i,j)表示将从第i堆石子合并到第j堆石子的最小的得分设t[i,j]表示从第i堆到第j堆石子数总和。Fmax[i,i]=0，Fmin[i,i]=0时间复杂度为O(n3)同理，动态规划优化由于石子堆是一个圈，因此我们可以枚举分开的位置，首先将这个圈转化为链，因此总的时间复杂度为O(n4)。这样显然很高，其实我们可以将这条链延长2倍，扩展成2n-1堆，其中第1堆与n+1堆完全相同，第i堆与n+i堆完全相同，这样我们只要对这2n堆动态规划后，枚举f(1,n),f(2,n+1),…,f(n,2n-1)取最优值即可即可。时间复杂度为O(8n3),如下图：猜想合并第i堆到第j堆石子的最优断开位置s[i,j]要么等于i+1，要么等于j-1，也就是说最优合并方案只可能是：{(i)(i+1…j)}或者{(i…j-1)(j)}证明设合并第i堆到第j堆石子的断开位置p，且ipj-1。设在i,p之间存在一种断开方案q。如下图；情况1：t[i,p]≤t[p+1,j] 合并方案1：{[(i…q)(q+1...p)](p+1…j)}