第1讲运用导数研究函数的单调性-解析版-2023届二轮复习《导数与解析几何》必掌握问题.docx

第1讲运用导数研究函数的单调性

典型例题

【例1】已知函数,求函数的单调区间.

【解析】对函数求导,得,其定义域为.

当时,,函数在上为减函数.

当时,令,得,则为增函数;令,得,则为减函数.

所以当时,函数的单调递减区间是.当时,函数的单调递增区间是;单调递减区间是.

【例2】已知函数,当时,求函数的单调区间.

【解析】当时,

当时,

对求导,得

令,得或.

当变化时,和在上的变化情况见表A.1.表A.1

2

3

0

0

极大值

极小值

由表可知当时,,则

令,得.

当变化时,和在上的变化情况见表A.2.

表A.2

0

极大值

综上所述,函数的单调递增区间为的单调递减区间为.

【例3】已知函数,求函数的单调区间.

【解析】已知函数的定义域为,则

(1)当,即时,因为,所以的单调递增区间为.

(2)当,即时,令,得.

当时,;当时,.

所以的单调递增区间为,单调递减区间为.

综上所述,当时,的单调递增区间为;当时,的单调递增区间为,单调递减区间为.

【例4】已知函数在上是减函数,求实数的取值范围.

【解析】解法一参变分离.因为,所以

因为在上是减函数,所以在上恒成立.因为,所以在上恒成立.

所以.又因为,所以.

因为,当且仅当时等号成立,所以,故.

解法二讨论二次函数(导数的分子部分).

因为,所以

因为在上是减函数,所以在上恒成立.因为,所以在上恒成立.

设,则二次函数是开口向下的抛物线,且,对称轴为.

因为在上恒成立,所以或解得.

【例5】已知函数,求的单调区间.

【解析】对求导,得.

当时,,所以函数的单调递增区间为;当时,若,若,所以此时函数的单调递增区间为,单调递减区间为.

综上所述,当时,函数的单调递增区间为;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.

【例6】已知函数,其中,若在区间上为增函数,求实数的取值范围.

【解析】函数的定义域为,则.

因为在区间上为增函数,所以在上恒成立,即,则在上恒成立,由于,所以.

【例7】已知函数.当时,求的单调区间.

【解析】依题意,有

所以在区间上单调递减.

因为,所以,因此,即,所以的单调递减区间是,没有单调递增区间.

【例8】已知函数,若,求证:函数在上为减函数.

【解析】当时,函数,所以

令,则只需证:当时,.

又因为,故在上为减函数,所以,因此,函数在上是减函数.

【例9】设函数,求的单调区间.

【解析】对求导,得.由知,与同号.

令,则,令,得.当时,,故在上单调递减;当时,,故在上单调递增.所以是在区间上的最小值,从而在上恒成立.

所以,故的单调递增区间为.

证法一对函数求导,得

令,则

令,解得.当变化时,与在上的变化情况见表A.3.

表A.3

0

极小值

所以函数在时取得最小值,且.

所以在上恒大于零.

于是当时,恒成立.

所以函数在上为增函数.

证法二对函数求导,得

设,则

由于,当时,,当时,,故在上单调递减,在上单调递增.所以当时,有最小值.

当时,,则,所以在上为增函数.

证法三对函数求导,得

因为,当时,,所以,所以在上为增函数.

证法四对函数求导,得

当时,,则

当时,,则

故总有,所以.所以在上为增函数.

证法五当时,

则,所以,故.所以在上为增函数.

证法一对函数求导,得

令,则

令,解得.当变化时,与在上的变化情况见表A.3.

表A.3

0

极小值

所以函数在时取得最小值,且.

所以在上恒大于零.

于是当时,恒成立.

所以函数在上为增函数.

证法二对函数求导,得

设,则

由于,当时,,当时,,故在上单调递减,在上单调递增.所以当时,有最小值.

当时,,则,所以在上为增函数.

证法三对函数求导,得

因为,当时,,所以,所以在上为增函数.

证法四对函数求导,得

当时,,则

当时,,则

故总有,所以.所以在上为增函数.

证法五当时,

则,所以,故.所以在上为增函数.

证法一对函数求导,得

令,则

令,解得.当变化时,与在上的变化情况见表A.3.

表A.3

0

极小值

所以函数在时取得最小值,且.

所以在上恒大于零.

于是当时,恒成立.

所以函数在上为增函数.

证法二对函数求导,得

设,则

由于,当时,,当时,,故在上单调递减,在上单调递增.所以当时,有最小值.

当时,,则,所以在上为增函数.

证法三对函数求导,得

因为,当时,,所以,所以在上为增函数.

证法四对函数求导,得

当时,,则

当时,,则

故总有,所以.所以在上为增函数.

证法五当