定积分的几何应用举例.pptVIP

上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页*主要内容：第六章定积分的应用一、定积分的元素法；二、平面图形的面积；三、体积；*回顾曲边梯形求面积的问题abxyo*一、定积分的元素法微分dA(x)?f(x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值DA?f(x)dx,f(x)dx称为曲边梯形的面积元素.表示以[a,x]为底的曲边梯形的面积.设y?f(x)?0(x?[a,b]).在几何上,积分上限函数以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间的定积分.*相应于[x,x+dx]的部分面积--面积元素:dA=f(x)dx关于x?[a,b]累加得整体面积:元素法(也称微元法):1.相应于[x,x+dx]的部分量(元素):dU=f(x)dx2.关于x?[a,b]累加得整体量:应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．*dA=[f上(x)?f下(x)]dx,设平面图形由上下两条曲线y?f上(x)与y?f下(x)及左右两条直线x?a与x?b所围成.平面图形的面积为面积元素为1.直角坐标情形二、平面图形的面积dxxfxfAbaò-=)]()([下上.*由左右两条曲线x?j左(y)与x?j右(y)及上下两条直线y?d与y?c所围成的平面图形的面积:面积为面积元素为ò-=dcdyyyA)]()([左右jj.dA=[j右(y)?j左(y)]dy,*例1计算抛物线y2?x与y?x2所围成的图形的面积.解(2)确定在x轴上的投影区间:(4)计算积分[0,1];(1)画图;*例2计算抛物线y2?2x与直线y?x?4所围成的图形的面积.(2)确定在y轴上的投影区间:(4)计算积分(3)确定左右曲线:[-2,4].解(1)画图;*例3因为椭圆的参数方程为x?acost,y?bsint,所以解椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍.ydx,椭圆在第一象限部分的面积元素为ò=aydxA04.ò=aydxA04*2.极坐标情形曲边扇形曲边扇形的面积元素曲边扇形是由曲线???(?)及射线???,???所围成的图形.曲边扇形的面积*曲边扇形的面积：例4计算心形线??a(1?cos?)(a0)所围成的图形的面积.解*旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴.1.旋转体的体积三、体积*考虑由连续曲线y?f(x)、直线x?a、a?b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体的体积.三、体积1.旋转体的体积旋转体的体积元素考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片,用圆柱体的体积?[f(x)]2dx作为切片体积的近似值,旋转体的体积于是体积元素为dV??[f(x)]2dx.*旋转体的体积：解轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.旋转椭球体的体积为例5计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积.*例6计算由摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost)的一拱,直线y?0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.解所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为*例6计算由摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost)的一拱,直线y?0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.解设曲线左半边为x=x1(y),右半边为x=x2(y).