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第二章相交线与平行线;1.在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动。如图，已知射线AM//BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，且分别交射线AM于点C，D.
;解：
因为AM∥BN，根据两直线平行，同旁内角互补，可得
∠A+∠ABN=180°。
已知∠A=60°，则∠ABN=180°?∠A=180°?60°=120°。因为BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，所以∠CBP=1/2∠ABP，∠DBP=1/2∠PBN。
那么∠CBD=∠CBP+∠DBP=1/2(∠ABP+∠PBN)。
又因为∠ABP+∠PBN=∠ABN，所以∠CBD=1/2∠ABN。
把∠ABN=120°代入，可得∠CBD=1/2×120°=60°。
因为∠A=60°，∠CBD=60°，所以∠CBD=∠A。;（2）“快乐小组”经过探索后发现：不断改变
∠A的度数，∠CBD与∠A始终存在某种数量关系，
请你进行说明并完成下列填空：;解：
因为AM∥BN，根据两直线平行，同旁内角互补，有∠A+∠ABN=180°，所以∠ABN=180°?∠A。
由于BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，则∠CBP=1/2∠ABP，∠DBP=1/2∠PBN。
那么∠CBD=∠CBP+∠DBP=1/2(∠ABP+∠PBN)。
又因为∠ABP+∠PBN=∠ABN，所以∠CBD=1/2∠ABN。
把∠ABN=180°?∠A代入，可得∠CBD=1/2(180°?∠A)=90°?1/2∠A。
①当∠A=40°时：
将∠A=40°代入∠CBD=90°?1/2∠A，则∠CBD=90°?1/2×40°=90°?20°=70°。
②当∠A=x°时：
把∠A=x°代入∠CBD=90°?1/2∠A，可得∠CBD=90°?1/2x°。;（2）“快乐小组”经过探索后发现：不断改变
∠A的度数，∠CBD与∠A始终存在某种数量关系，
请你进行说明并完成下列填空：;（3）“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系。他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变。请写出它们的关系，并说明理由。
;解：
因为AM∥BN，所以∠ADB=∠DBN（两直线平行，内错角相等）。
又因为BD平分∠PBN，所以∠PBN=2∠DBN，
则∠PBN=2∠ADB。
同样由于AM∥BN，可得∠APB+∠PBN=180°
（两直线平行，同旁内角互补）。
把∠PBN=2∠ADB代入∠APB+∠PBN=180°，
得到∠APB+2∠ADB=180°。
所以∠APB与∠ADB的数量关系是∠APB+2∠ADB=180°。;2.射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等。如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2。
;解：
由入射光线和反射光线与平面镜所夹的角相等，可得在平面镜a处，∠1=∠3=50°。
根据平角定义，在平面镜a处，入射光线与反射光线的夹角为180°?2×50°=80°。
因为光线m与光线n平行，根据两直线平行，同旁内角互补，所以光线m与光线n的夹角和在平面镜a处入射光线与反射光线的夹角之和为180°，则在平面镜b处入射光线与反射光线的夹角也为80°。
再根据入射光线和反射光线与平面镜所夹的角相等，在平面镜b处，∠2=2180°?80°?=100°。
所以∠2的度数为100°。;【猜想验证】;解：设光线m在平面镜a上的入射角为α，反射角也为α（入射角等于反射角），光线m在平面镜b上的入射角为β，反射角也为β。则在平面镜a处，与∠1相等的角为α，在平面镜b处，与出射光线相关的角为β。
因为m∥n，根据两直线平行，同旁内角互补，所以2α+2β=180°，化简可得α+β=90°。
在由平面镜a、b组成的三角形中（以两平面镜交点及光线在两平面镜上的入射点构成的三角形），根据三角形内角和为180°，∠3=180°?(α+β)。
把α+β=90°代入上式，可得∠3=90°。;【拓展探究】;当k=1时
光线m经平面镜a反射后直接经平面镜c反射得到n，此时不存在平面镜b的反射作用，这种情况不成立，因为题目要求经过k(k≤3)次反射且与平面镜b有关。;当k=2时
光线m经平面镜a反射后，再经平面镜b反射，最后经平面镜c反射得到n。
根据光线反射规律及平行线性质，结合三角形内角和等知识。
已知∠1=30°，则在平面镜a处入射角为60°。
因为m∥n，通过角度关系推导（利用入射角等于反射角以及平行线同旁内角互补等性
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