第39讲 内心和外心.docx

第39讲内心和外心

典例精练

【例1】已知O，I分别是△ABC的外心和内心，若∠BOC=140°,

【例2】(2022武汉)如图,以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C,AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC,AE的延长线交⊙O于点D,连接BD.

(1)判断△BDE的形状，并证明你的结论；

(2)若AB=10,BE=210

针对训练

1.如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是()

A.点O是△ABC的内心

B.点O是△ABC的外心

C.△ABC是正三角形

D.△ABC是等腰三角形

2.设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是()

A.h=R+rB.R=2rC.r=34a

3.(2023武昌)已知,在△ABC中,.AC=4,BC=32,

4.(2024江汉)如图,△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=20,BC=21,CA=13,则下列说法不正确的是()

A.∠EDF=∠AB.∠EOF=∠B+∠C

C.BD=14D.OE=

5.(2024硚口)如图,AB是⊙O的直径,C在⊙O上,I为△ABC的内心,若∠BIO=2∠AIO,则tan∠OBI的值是()

A.22B.12C.1

6.如图,△ABC内接于⊙O,点E是△ABC的内心,延长AE交⊙O于D,DE=5,BC=8,则⊙O的半径为.

7.(2023湖北)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆⊙O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD=.

8.已知△ACB内接于圆O,点I是△ACB的内心,AI交圆O于点D,连接DB,DC.

(1)如图1,当∠BAC=120°时,求证:△BCD为等边三角形;

(2)如图2,当∠BAC=90°时,AB=6,AC=8,求DI的长.

第39讲内心和外心

典例精练

【例1】已知O,I分别是△ABC的外心和内心,若∠BOC=140°,则∠BIC的大小是125°或145°·

【例2】(2022武汉)如图,以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C,AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC,AE的延长线交⊙O于点D,连接BD.

(1)判断△BDE的形状，并证明你的结论；

(2)若AB=10,BE=210

解：(1)△BDE为等腰直角三角形.

∵AE平分∠BAC,BE平分∠ABC,∴∠BAE=∠CAD=∠CBD,∠ABE=∠EBC.

∵∠BED=∠BAE+∠ABE,∠DBE=∠CBD+∠EBC,∴∠BED=∠DBE.∴BD=ED.

∵AB为直径,∴∠ADB=90°.∴△BDE是等腰直角三角形.

(2)连接OC,CD,OD,设OD交BC于点F,则∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD,∴BD=DC.

∵OB=OC,∴OD垂直平分BC.∵△BDE是等腰直角三角形,BE=2

∵AB=10,∴OB=OD=5.设OF=t,则DF=5?t.BF

∴BF=4.∴BC=8.

针对训练

1.如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是(A)

A.点O是△ABC的内心

B.点O是△ABC的外心

C.△ABC是正三角形

D.△ABC是等腰三角形

2.设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是(C)

A.h=R+rB.R=2rC.r=34a

3.(2023武昌)已知,在△ABC中,AC=4,BC=32，以AB为直径的圆经过△ABC的外心，则AB的长为58或10

4.(2024江汉)如图,△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=20,BC=21,CA=13,则下列说法不正确的是(A)

A.∠EDF=∠AB.∠EOF=∠B+∠C

C.BD=14D.OE=

5.(2024硚口)如图,AB是⊙O的直径,C在⊙O上,I为△ABC的内心,若∠BIO=2∠AIO,则tan∠OBI的值是(B)

A.22B.12C.1

6.如图,△ABC内接于⊙O,点