2025年中考数学考点专题讲练-第六节 圆最值与多解.docx

第六节圆最值与多解

专题讲练1圆与最值(一)

1.如图,在⊙O中,点A为圆上一定点,点B为圆上一动点,连AB,AC⊥AB,∠CBA=30°,⊙O半径为3，求OC的取值范围.

2.如图,已知点A为⊙O上一定点,点B为圆上一动点,连AB,AC⊥AB,∠CBA=30°,⊙O半径为3，则OC的最小值为.

3.如图,AB是⊙O的弦,且∠AOB=120°,C为⊙O上一动点,D,E分别是AC,OB的中点,连DE,当∠CDE=时,线段DE最长.

4.如图,A(2,0),B(0,2),⊙B半径为1,点C在⊙B上,M为AC的中点,求OM最大值.

5.如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=22,点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，BM最大值为

6.(2024·武汉)如图,AB是⊙O的直径,AB=4,C是上半圆?AB的中点，D是下半圆AB上一个动点，过点A作CD的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是()

A.πB.2C.2πD.22

B

专题讲练2圆与最值(二)

考点一遇垂直相等作垂直相等构手拉手全等

【典例】如图，点C是半圆?AB上一动点，以BC为边作正方形BCDE(使?BC在正方形内)，连OE.若OE取最大值时，∠OEB的度数为.

【方法】(1)知垂直相等作垂直相等，构手拉手全等(本质是旋转90°)；

(2)由全等得定长得点在圆上运动；

(3)三点共线时(或穿心)最大或最小.

考点二遇等边作等边构手拉手全等

变式1.如图,在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(3,0),⊙O经过点A,D是⊙O上的一动点，将线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，连接AC，则AC的最大值为.

变式2.如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C为OB的中点,点P在?AB上运动，以PC为边向外作等边△PCQ,求OQ最小值.

考点三遇等腰作等腰构手拉手全等

变式3.如图，P是半径为6的⊙O上一动点，A是⊙O内的一定点，且OA=4.以AP为腰作等腰△APQ(点A,P,Q按顺时针排列),且∠PAQ=120°,M是AQ的中点,则OM的最大值为.

专题讲练3圆中多解问题(一)——点的位置未定

考点一动点在优弧或劣弧上方分类讨论?

?

【典例】如图,在⊙O中,半径OA与弦BD垂直,∠AOB=80°,点C在劣弧?BD上,求∠ACD的大小.

【方法】(1)点在弧分两段讨论；

(2)先特殊后一般；

(3)注意圆内接四边形对角互补.

变式1.如图,AB是⊙O的直径,弦DE∥AB,∠DEB=110°.

(1)求∠EDB的度数;

(2)过点O作AD的平行线交⊙O于点C，直接写出∠ADC的度数.

考点二外心在三角形内或外分类讨论

变式2.如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,OB,OC交⊙O于E,F.

(1)∠BOC=;

(2)若点P在⊙O上,不与E,F重合,则∠EPF=.

变式3.如图,PA,PB与⊙O相切于A,B,连PC交?AB于点E,∠APB=64°,点C为⊙O上异于A,B的点.

(1)若点C在优弧?AB上,求∠BCE的度数;

(2)若点C在劣弧?AB上,求∠BCE的度数.

变式4.点O,I分别是△ABC的外心和内心,∠BOC=140°,则∠BIC的大小为.

专题讲练4圆中多解问题(二)——切线位置未定

考点一左相切或右相切分类讨论

【典例】如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOD=30°,半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果⊙P以1cm/s的速度由A向B的方向移动，那么⊙P与直线CD相切时用的时间是.

【方法】直线与圆相切问题转化为圆心到直线距离等于圆的半径，即过P作PE⊥CD于E，则PE=1，同时注意圆心的位置.

变式1.如图,直角梯形ABCD,(CD⊥BC,AD‖BC,AD=8,BC=10,AB=6，以CD为直径的⊙O以2单位/s向左运动，多少时间后⊙O与AB相切.

考点二与一边相切或与另一边相切分类讨论

变式2.如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心,PM长为半径作⊙P,当⊙P与正方形ABCD的边相