同济大学弹性力学模拟题...docVIP

一、一根等截面矩形杆两端受均布拉力，在杆内产生如下常应变

其中QUOTEC1,C2为常数。假定场函数只是坐标QUOTEx,y的函数，计算杆内的位移场。[本题12分]

解：

（1）不为恒等式的几何关系式有

?u?x=

?w?x=0

（2）（8分）

显然由最后两个式子可得w=0

再由第一、二式求得

ux,y=

其中f(y)

df

计算得fy=Ay+B

其中A，

ux,y=

二、已知某应力张量的元素如下：，，，。求：（1）主应力；（2）最大主应力对应的主方向；（3）求方向矢量为的斜面上的正应力和剪应力。[本题15分]

解：（1）（5分）

此应力张量为

设主应力为，则有：

即：

解得其根为：，，

（2）最大主应力为，设其主应力方向为,则有如下方程：

,且，

由此可解得：（3分）

（3）（7分）

由可得已知倾斜面上的面力为：

三、已知二阶张量A和B，证明下面的转置运算成立：。[本题10分]

解：

A?B

=AijB

B

=Bmne

故等式成立。

四、如图1所示楔形体，请写出该平面应力问题的应力边界条件。[本题13分]

图1应力边界条件

解：直角坐标系[也可采用极坐标系]

y=0的边界上：（4分）

，

平面上：（4分）

其中：，

对集中荷载P和M，在横坐标x处切一截面，根据力的平衡（5分）

五、如图2所示的矩形悬臂梁，在自由端作用集中力P，不计体力，。假设应力函数可取为，试求应力分量。[本题20分]

图2矩形截面悬臂梁

解：（1）（4分）

应力函数应满足应力协调方程，可得

=4E=0

可得，E=0

（2）（4分）

应力分量为

（3）（7分）

边界条件为

（4）（5分）

将应力分量代入边界条件可得

联立解得：

；

将此系数代入即可得各应力分量。

六、图3a、3b和3c所示分别是单向受拉、单向受压和双向受拉作用的无穷大板开小圆孔问题。已知图(a)所示情况的环向应力为

（1）试写出图3b情况的环向应力;（2）写出图3c情况的环向应力，并求最大环向应力。

[本题10分]

图3无穷大圆孔板问题

解：

（1）图3b情况的环向应力为（5分）

（2）叠加图3a和3b的解答，并注意外力的符号，得本问题的环向应力为

最大环向应力为。（5分）

七、如图4所示简支梁，跨长为，在左、右半段各受到均布荷载作用，荷载具有反对称性。

（1）现构造一试探函数，其中为待定系数，试用瑞利-李兹法进行求解。[提示：梁的应变能计算公式为]

（2）将求得的结果，与用材料力学方法求解出的最大挠度（发生在处）进行比较，说明计算效果。[本题20分]

图4简支梁

解:

（1）

按瑞利-李兹法求解首先需满足位移边界条件，可得：