人教版新课程标准高中数学选秀一-3.2 双曲线 (38)教学课件幻灯片PPT.pptxVIP

3.2.2双曲线的简单几何性质

（第一课时）

凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非

常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常

用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎

样的特性.

[问题]你能否类比椭圆的几何性质去猜

想双曲线有哪些几何性质呢?

一：范围

类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线(焦点在x轴上)，我们

发现双曲线上点的横坐标的范围是x≤-a,或x≥a,纵坐标的范围

是y∈R.（注：焦点在y轴上时，y≤-a,或y≥a，x∈R）

这说明双曲线位于直线x=-a及其左侧和直线x=a及其右侧的区

域。（注：焦点在y轴上时，位于直线y=-a及其下侧和直线y=a及

其上侧的区域。）

二：对称性

类比研究椭圆的对称性的方法，容易得到，双曲线

（a0,b0)关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线

的对称轴，原点是双曲线的对称中心。双曲线的对称中心叫做双曲

线的中心.

三：顶点

令y=0,得x=±a,因此双曲线和x轴有两个交点A1(-a，0),A2(a，0).因

为x轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做

双曲线的顶点.

令x=0，得y2=-b2,这个方程没有实数解,说明双曲线和y轴没有公共点,

但我们也把B1(0，-b)，B2(0，b)两点画在y轴上.

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于

2a,a叫做双曲线的实半轴长;线段B1B2叫做双曲线

的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长.

四：渐近线

一般地，双曲线(a0,b0)的两支向外延伸时，与两

条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近

线.实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.

等轴双曲线和共轭双曲线

1.等轴双曲线：

双曲线(a0,b0)，如果a=b,那么方程变为x2-y2=a2，

此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a.这时，四条直线x=±a,y=±a

围成正方形，渐近线方程为y=±x，它们互相垂直，并且平分双曲线

的实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.

2.共轭双曲线：

以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲

线的共轭双曲线.

等轴双曲线相关性质

共轭双曲线相关性质

五：离心率

与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离

心率、因为c＞a＞0,所以双曲线的离心率e=＞1.

思考？

用双曲线渐近线的斜椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双

曲线的离心率能刻画双曲线的什么几何特征?

结论：离心率越大双曲线的“张口”越大；

离心率越小双曲线的“张口”越小.

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