人教版新课程标准高中数学选秀一-3.3 抛物线 (33)教学课件幻灯片PPT.pptxVIP

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2025-04-01 发布于山东
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人教版新课程标准高中数学选秀一-3.3 抛物线 (33)教学课件幻灯片PPT.pptx

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与抛物线相关的最值问题

与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,利用“两点之间线段最短”这一原理来解决问题.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”这一原理来解决问题.与抛物线相关的最值问题

例1、设P为抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点,点B(3,2).求:①点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值.②|PB|+|PF|的最小值.与抛物线相关的最值问题

例1解①由题意可知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,点A在准线上.由抛物线的定义知点P到直线x=-1的距离等于|PF|.于是,问题转化为|PA|+|PF|的最小值.如图,显然,当点P为AF与抛物线的交点时,|PA|+|PF|取最小值,此时最小值为与抛物线相关的最值问题

②由题意可知抛物线的准线方程为x=-1.如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,过点P作PM垂直准线于点M,由抛物线的定义可知|PF|=|PM|,则|PB|+|PF|=|PB|+|PM|≥|BQ|=4,当点P为BQ与抛物线的交点时,等号成立.故|PB|+|PF|的最小值为4.与抛物线相关的最值问题

例2(2020河南郑州二模)已知抛物线C:y2=2x,过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线C于A,B两点(A,B均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为()A.2 B.3 C. D.4与抛物线相关的最值问题

与抛物线相关的最值问题

答案D解析(1)由已知得点C1(3,2),F(2,0),记抛物线C2的准线为l,如图,过点M作直线l的垂线,垂足为D,过点C1作直线l的垂线,垂足为D1,则|MF|+|MN|=|MD|+|MN|≥|MD|+|MC1|-1≥|C1D1|-1,当且仅当M,C1,D1三点共线,且点N在线段MC1上时等号成立,此时|MF|+|MN|取得最小值,则点M1的坐标为(1,2),|MF|-|MN|≤|MF|-(|MC1|-1)=|MF|-|MC1|+1≤|FC1|+1,当且仅当M为线段FC1的延长线与抛物线的交点,且点N在线段MC1上时等号成立,此时|MF|-|MN|取得最大值,与抛物线相关的最值问题