2025年相似三角形题型深度解析与技巧总结.doc

三角形題型归纳

一、线段比例问題（构造平行）

1、下图中，E為平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AE∶EC=1∶3，BE的延長线交CD的延長线于G，交AD于F，求证：BF∶FG=1∶2.

2、已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為BC的中点，E為AC上一点，点G在BE上，连結DG并延長交AE于F，若∠FGE=45°，（1）求证：BD·BC=BG·BE；（2）求证：AG⊥BE；（3）若E為AC的中点，求EF∶FD的值。

3、如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．（1）求证：△ABF∽△COE；（2）当O為AC的中点，時，如图2，求的值；（3）当O為AC边中点，時，請直接写出的值．

4、如图，四边形和四边形都是平行四边形，点為的中点，分别交于点．（1）請写出图中各对相似三角形（相似比為1除外）；（2）求．

A

A

B

C

D

E

P

O

R

二、相似比乘积处理措施（逆向和正向分析找解題思绪）

1、如下图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC,EM是AD的中垂线，交BC延長线于E.求证：DE2=BE·CE.

2、过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E，求证：AE∶ED=2AF∶FB.

3、假如四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线OG∥AB交BC于E，交AD于F，交CD的延長线于G，求证：OG2=GE·GF.

4、已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E為BC的中点，ED的延長线交CA于F。

求证：

5、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延長线交于点E.求证：（1）△AED∽△CBM；（2）

6、如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延長线于F、H。求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH

7、已知如图，P為平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延長线、AB的延長线分别相交于点E、F、G、H.求证：

8、（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延長线于点Q，S，交于点．求证：（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延長线上時与否仍然成立？若成立，试給出证明；若不成立，试阐明理由（规定仅以图2為例进行证明或阐明）；

三、构造相似辅助线——A、X字型

1、如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。求证：

2、四边形ABCD中，AC為AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。求证：

3、如图，过平行四边形ABCD的顶点A的直线交BD于P，交CD于Q，并交BC的延長线于R，求证：

四、相似类定值问題

1、如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D為MN上任意一点，BD、CD的延長线分别交AC、AB于点E、F．

求证：．

2、已知，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边長為a．求证：．

3、如图，在△ABC中，已知CD為边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。求证：．

4、如图所示，?ABCD中，AC与BD交于O点，E為AD延長线上一点，OE交CD于F，EO延長线交AB于G．求证：．

5、一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它們的延長线）于点D、E、F．求证：．

6、已知：P為?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延長线于Q点，求证：．

五、证明线段相等

1、在等腰，分别过点B、C作两腰的平行线，通过点A的直线与两平行线分别交于点D、E，连接DC，BE，DC与AB边相交于点M，BE与AC边相交于点N。(1)如图1，若，写出图中所有与AM相等的线段，并选用一条給出证明。(2)如图2，若DE与CB不平行，在(1)中与AM相等的线段中找出一条仍然与AM相等的线段，并給出证明。

2、在面积為24的△ABC中，矩形DEFG的边DE在AB上运动，点F、G分别在BC、AC上。

（1）若AE＝8，DE＝2EF，求GF的長；（2）若∠ACB＝90°，如图2，线段DM、EN分别為△ADG和△BEF的角平分线，求证：MG＝NF；（3）請直接写出矩形DEFG的面积的最大值。

3、在△ABC中，点D从A出发，在AB边上以每秒一种单位的速度向B运动，同步点F从B出发，在BC边上以相似的速度向C运动，过点D作DE∥BC交AC于点E．运动時间為t秒．

（1）若AB＝5，BC＝6，当t為何值時，四边形DFCE為平行四边形；（2）连接AF、CD．若BD＝DE，求证：∠BAF＝∠BCD；（3）AF交DE于点M，在DC上取点N，使M