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函数的定义域和值域

要点梳理

1．常见基本初等函数的定义域

(1)函数y＝ax(a＞0且a≠1)、y＝sinx、y＝cosx的定义域是R

(2)y＝logax的定义域是{x|x＞0}或(0，＋∞)，y＝tanx的定义域是{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}．

求定义域方法：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.

2．基本初等函数的值域

(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a＞0时，值域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(yy≥\f(4ac－b2,4a)))；当a＜0时，值域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(yy≤\f(4ac－b2,4a))).(3)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域是{y|y≠0}．(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}．(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R.(6)y＝sinx，y＝cosx的值域是[－1,1]．(7)y＝tanx的值域是R.

求值域方法：(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y＝ax＋b±eq\r(cx＋d)(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋eq\r(a－bx2)的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y＝eq\f(cx＋d,ax＋b)(a≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法，(7)导数法，(8)利用基本不等式

典型例题

求函数的定义域

例1、函数f(x)＝eq\r(1－2x)＋eq\f(1,\r(x＋3))的定义域为________．

例2、函数f(x)＝eq\f(x2,\r(2－x))－lg(x－1)的定义域是________．

例3、函数f(x)＝eq\f(\r(2x＋1),2x2－x－1)的定义域是________．

求函数的值域

例4、求下列函数的值域．

(1)y＝x2＋2x(x∈[0,3])；(2)y＝eq\f(1－x2,1＋x2)；(3)y＝x＋eq\f(4,x)(x＜0)；

(4)f(x)＝x－eq\r(1－2x)(5)y＝log3x＋logx3－1(x＞1)．

例5、若函数f(x)＝eq\r(2x2＋2ax－a－1)的定义域为R，则a的取值范围