2025届高考数学一轮复习第十一章选修系列选修4_4坐标系与参数方程学案理含解析北师大版.docVIP

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选修4－4坐标系与参数方程

命题分析预料

学科核心素养

从近五年的考查状况来看，本节内容主要考查极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化，参数方程与一般方程的互化，依据极坐标方程或参数方程求弦长、面积、最值等，其中利用直线参数方程中参数的几何意义求值，利用椭圆或圆的参数方程或点到直线的距离求最值是考查的重点，主要以解答题的形式出现，难度中等．

本节通过极坐标(方程)和参数方程的应用考查学生的数学运算、逻辑推理核心素养和转化与化归思想的应用．

授课提示：对应学生用书第254页

学问点一极坐标

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的随意一点，在变换φ：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x（λ＞0），,y′＝μ·y（μ＞0）))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标系的概念

(1)极坐标系

如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标

①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ．

②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ．

③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

3．极坐标与直角坐标的互化

设M是平面内随意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ；))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)（x≠0）Ｗ.))

?温馨提示?

二级结论

常见曲线的极坐标方程

(1)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程：ρ＝r(0≤θ＜2π)．

(2)圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半径为r的圆的极坐标方程：ρ＝2rsinθ(0≤θ＜π)．

(3)过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程：θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)．

(4)过点(a，0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程：ρcosθ＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＜θ＜\f(π,2)))．

(5)过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，与极轴平行的直线的极坐标方程：ρsinθ＝a(0＜θ＜π)．

必明易错

1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要留意两个方面：一是精确应用公式，二是留意方程中的限制条件．

2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．

留意极坐标(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．

1．在极坐标系中，已知点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，则过点P且平行于极轴的直线方程是()

A．ρsinθ＝1 B．ρsinθ＝eq\r(3)

C．ρcosθ＝1 D．ρcosθ＝eq\r(3)

解析：先将极坐标化成直角坐标表示Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，转化为直角坐标为x＝ρcosθ＝2coseq\f(π,6)＝eq\r(3)，y＝ρsinθ＝2sineq\f(π,6)＝1，即(eq\r(3)，1)，过点(eq\r(3)，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsinθ＝1．

答案：A

2．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝3y，))则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为________．

解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝3y，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x′,y＝\f(1,3)y′，))

代入y＝sinx，得eq\f(1,3)y′＝sin2x′，

故变换后的方程为y′＝3sin2x′．

答案：y′＝3sin2x′

3．(2024·西安模拟)在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是________．

解析：法一：由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1