高中数学学案-第十章---导数及其应用.pdfVIP

第十章导数及其应用_

§10.1导数及其运算_

一、知识导学一

1.瞬时变化率：设函数N=(x)在X。附近有定义，当自变量在x=x0附近改变量为Ax时，函数值相应

地改变与=(Xo+Ax)-(x),如果当Ar趋近于0时，平均变化率包=小叱42二趋近于

AxAx

一个常数C(也就是说平均变化率与某个常数C的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数)，那么常

数C称为函数(X)在点X。的瞬时变化率。一

2.导数：当Ac趋近于零时，A*)一趋近于常数量可用符号“f”记作：当AxfO时，

Ax

八也+©)一电)Tc或记作lim(+©)一■(,%)=。，符号一”读作“趋近于。函数在X。的

Ax加T0Ax

瞬时变化率，通常称作(x)在x=x0处的导数，并记作(X。)。_

3.导函数：如果(X)在开区间仅力)内每一点X都是可导的，则称(X)在区间(a,6)可导。这样，对开区

间(。)内每个值X,都对应一个确定的导数(X)。于是，在区间(a,b)内，(X)构成一个新的函数，

我们把这个函数称为函数y=(x)的导函数。记为(X)或_(或乂)。一

4.导数的四则运算法则：1)函数和(或差)的求导法则：设(x),g(x)是可导的，则

((x)±g(x))=(x)±g(x)即，两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)。

2)函数积的求导法则：设(x),g(x)是可导的，贝U(x)g(x)]=(x)g(x)+(x)g(x)即，两

个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。一

3)函数的商的求导法则：设(x),g(x)是可导的，g(x)wO,则一

(X)=g(x)(x)—(x)g(x)

_g(x)_|g2(x)

5.复合函数的导数:设函数〃=叭x)在点x处有导数〃；=(X),函数y=(〃)在点x的对应点u处有

导数y=(〃),则复合函数y=f1y(x)]在点x处有导数,且久=y-u.

uux

6.几种常见函数的导数：

⑴C=0。（为常数）

⑶(sinx)=cosx(4)(cosx)=-sinx_

⑸(Inx)，=—⑹(logx)=—k)g“e.

XX

xx

(7)(ey=e⑻⑷)=a1na_

二、疑难知识导析_

1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率一

2.运用复合函数的求导法则式=X应注意以下几点一

（1）利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量的函数，层层求导.一

2（）要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误,

如c（os2x）=-sin2x实际上应是一2sin2x。_

3（）求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如夕=-