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中职数学角的概念推广及其弧度制

[知识整合]

基础知识

一、角的概念的推广

1．“旋转”形成角

如图，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α.旋转开始时的射线OA叫作角α的始边，旋转终止的射线OB叫作角α的终边，射线的端点O叫作角α的顶点．

2．正角、负角和零角

(1)正角：一条射线绕着端点，按逆时针方向旋转形成的角．

(2)负角：一条射线绕着端点，按顺时针方向旋转形成的角．

(3)零角：一条射线绕着端点，没有旋转形成的角．

二、终边相同的角

角的概念推广以后，角可以经过不同的方向旋转得到，也可以旋转不同的圈数而停止，因此角的始边与终边相同的情况下，可以表示很多不同的角，所有与角α终边相同的角的集合为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或

{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．

三、象限角

角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正方向重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．

第一象限角的集合：{α|k·360°α90°＋k·360°，k∈Z}，或{α|2kπαeq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z}

第二象限角的集合：{α|90°＋k·360°α180°＋k·360°，k∈Z}，或{α|eq\f(π,2)＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z}

第三象限角的集合：{α|180°＋k·360°α270°＋k·360°，k∈Z}，或{α|π＋2kπαeq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z}

第四象限角的集合：{α|270°＋k·360°α360°＋k·360°，k∈Z}，或{α|eq\f(3π,2)＋2kπα2π＋2kπ，k∈Z}．

终边落在x轴上的角的集合{α|α＝k·180°，k∈Z}或{α|α＝kπ，k∈Z}

终边落在y轴上的角的集合{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}或{α|α＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}

终边落在坐标轴上的角的集合{α|α＝k·90°，k∈Z}或{α|α＝eq\f(kπ,2)，k∈Z}

说明：(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同．

(2)锐角：0°α90°；小于90°的角：α90°；钝角：90°α180°.

四、弧度制

1．度

1度的角：把圆周平均分成360等份，每份弧所对的圆心角的度数为1°.

如：直角是90°，平角是180°，周角是360°，锐角范围是(0°，90°)．

2．弧度

1弧度的角：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角．

说明：(1)弧度可简记为符号：rad；

(2)弧度(rad)也可省略不写，如α＝2，表示α＝2rad；

(3)同一个表达式中，度与弧度一般不同时出现．

3．弧度与角度的换算关系：πrad＝180°，1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝(eq\f(180,π))°≈57.3°.

4．特殊角的角度与弧度的互化对应表

度

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

210°

240°

270°

360°

弧度

0

eq\f(π,6)

eq\f(π,4)

eq\f(π,3)

eq\f(π,2)

eq\f(2π,3)

eq\f(3π,4)

eq\f(5π,6)

π

eq\f(7π,6)

eq\f(4π,3)

eq\f(3π,2)

2π

5.扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0α2π)为其圆心角，则

度量单位类别

α为角度制

α为弧度制

扇形的弧长

l＝eq\f(απR,180°)

l＝α·R

扇形的面积

S＝eq\f(απR2,360°)

S＝eq\f(1,2)l·R＝eq\f(1,2)α·R2

基础训练

1．下列说法中，正确的是()

A．第二象限角一定是钝角B．钝角一定是第二象限角

C．第一象限角一定是正角D．第四象限角一定是负角

2．在0°～360°范围内，与－420°终边相同的角是()

A．60°B．－60°C．240°D．300°

3．把下列角度化为弧度．

135°＝__________；－60°＝__________；330°＝__________；－120°＝__________；－360°＝__________．

4．把下列弧度化为角度．

eq\f(3π,4)＝__________；eq\f(5π,6)＝__________；－eq\f(4π,3)＝__________；eq\f(π,2)＝__________；eq\f(π,5)＝________