职教高考两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式讲练结合.docxVIP

中职数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式

[知识整合]

基础知识

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；

tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).

2．二倍角公式

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)

说明：(1)在和角公式中，令α＝β，即得到二倍角公式；

(2)要灵活理解“二倍角”的含义．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的二倍，3α是eq\f(3α,2)的二倍等，所有这些均可以应用二倍角公式．

基础训练

1．cos170°cos50°＋sin170°sin50°＝____________．

2．sin15°＝____________．

3．计算：eq\f(tan70°－tan25°,1＋tan70°·tan25°)＝____________．

4．2cos275°－1＝____________．

5.eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝____________．

[重难点突破]

考点1两角和与差的余弦公式

例1(1)求值cos75°；

(2)求值cos75°cos105°＋sin75°sin105°；

(3)化简cos(36°＋α)cos(α－24°)＋sin(36°＋α)sin(α－24°)．

【解】(1)cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°

＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).

(2)原式＝cos(75°－105°)＝cos(－30°)＝eq\f(\r(3),2).

(3)原式＝cos(36°＋α－α＋24°)＝cos60°＝eq\f(1,2).

【变式训练】1.求值：cos20°cos25°－sin20°sin25°＝____________．

2．求值：cos55°cos65°－cos35°sin65°＝____________．

3．化简：cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝____________．

例2(1)已知cosα＝eq\f(12,13)，α∈(eq\f(3π,2)，2π)，求cos(α＋eq\f(π,4))；

(2)已知α，β为锐角，cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，求cosβ及角β的值．

【解】(1)因为cosα＝eq\f(12,13)，α∈(eq\f(3π,2)，2π)，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(5,13)，

∴cos(α＋eq\f(π,4))＝cosαcoseq\f(π,4)－sinαsineq\f(π,4)＝eq\f(12,13)×eq\f(\r(2),2)－(－eq\f(5,13))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(17\r(2),26).

(2)∵cosα＝eq\f(1,7)，α为锐角，∴sinα＝eq\r(1－（\f(1,7)）2)＝eq\f(4\r(3),7)，

∵0＜α＜eq\f(π,2)，0＜β＜eq\f(π,2)，∴0＜α＋β＜π，

又∵cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，∴sin(α＋β)＝eq\r(1－（－\f(11,14)）2)＝eq\f(5\r(3),14)，

又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(11,14)×eq\f(1,7)＋eq\f(5\r(3),14)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(1,2)，

∵β为锐角，∴β＝eq\f(π,3).

反思提炼：

适当地进行角的变形是解决这类问题的关键，需根据已知条件中的角灵活地将所求的角进行变形．

【变式训练】1.已知sinα＝－eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(πα\f(3π,2))))，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))).

2．已知cos(