人教版新课程标准高中数学选秀一-3.1 椭圆 (31)教学课件幻灯片PPT.pptxVIP

椭圆的定义

1.椭圆的概念

(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等

于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这

两定点叫做椭圆的焦点，

两焦点间的距离叫做焦距．

(2)代数式形式：集合

①若，则集合P为椭圆；

②若，则集合P为线段；

③若，则集合P为空集．

椭圆的标准方程

1.椭圆的标准方程：

（1）焦点在轴，；

（2）焦点在轴，.

2．满足条件：

椭圆的几何性质

直线与椭圆的位置关系

1.直线与椭圆位置关系的判断

(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理

得到关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0.记该一元二次方程根

的判别式为Δ，

①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；

②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；

③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．

(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，

利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系．

2．直线与椭圆的相交长问题：

（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点

则弦长公式为

或．

（2）弦中点问题，适用“点差法”.

（3）椭圆中点弦的斜率公式

若M(x0，y0)是椭圆的弦AB(AB不平行y轴)的

中点，则有kAB·kOM＝即kAB＝.

考点01椭圆的定义及其应用

【典例1】【多选题】（2023秋·高二课时练习）

平面内一动点到两定点距离之和为常数，则

点的轨迹为（

）

A．圆B．椭圆C．线段D．无轨迹

【详解】根据题意，得，

①当时，满足椭圆的定义，可得点M的轨迹为以为

焦点的椭圆；

②当时，，点M在线段上，点M的轨迹为

线段；

③当时，，不存在满足条件的点M．

综上所述，点M的轨迹为椭圆或线段或不存在.

故选：BCD.

【典例2】（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的中

心在原点，焦点F1，F2在x轴上，且经过点P，

同时，则椭圆的标准方程为（

）

A．＋＝1B．＋＝1

C．＋＝1D．＋＝1

【详解】由已知，可设椭圆的方程为，

则，

又，由椭圆定义得，，

即，

因为，所以，，

所以椭圆的标准方程为，

故选：A.

【典例3】（2023秋·高二课时练习）椭圆

的焦点为，点在椭圆上，若，则

的大小为

．的面积为

．

【详解】由知：，则

，在中，故，

由，则．

故答案为：，

【总结提升】

1.应用椭圆的定义，可以得到结论：

（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，

F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋

c)．

(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三

角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.

2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.

3.椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦

点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．

(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角

形的周长和面积问题．

考点02椭圆的标准方程

【典例4】（2023秋·高二课时练习）F，A分别为椭圆的一个焦点

和顶点，若椭圆的长轴长是6，且，则椭圆的标准方

程为（）

A．B．

C．1或D．1或

【详解】当焦点在x轴上时，

，

因为，所以，