人教版新课程标准高中数学选秀一-1.2 空间向量基本定理 (4)教学课件幻灯片PPT.pptxVIP

§1.2第一章空间向量基本定理复习

1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.2.会用基底表示空间向量(重点).3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法(难点).学习目标

我们学过的平面向量基本定理可以概括为给出一个二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一个三维的基底，可以生成空间中的所有向量.导语

一、空间向量基本定理二、用基底表示空间向量三、空间向量基本定理的应用随堂演练内容索引

空间向量基本定理一

如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝，p能否用i，j，k表示呢？问题1

提示假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，请证明x，y，z的唯一性.问题2由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.所以有序实数组(x，y，z)是唯一的.

知识梳理1.空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c，那么对任意一个空间向量p，不共面唯一基底两两垂直1存在的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.2.基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个，3.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.4.正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，两两垂直均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝.像这样，把一个空间向量分解为三个的向量，xi＋yj＋zk叫做把空间向量进行正交分解.a，b，c都叫做基向量.且长度都为，GO

(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.(3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.

例1∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，

(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底.基底的判断思路反思感悟(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.

已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是A.a B.b C.a＋2b D.a＋2c跟踪训练1√能与p，q构成基底，则与p，q不共面.∴A，B，C都不符合题意.∵{a，b，c}为基底，∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底.

二用基底表示空间向量

例2

(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘运算的运算律；用基底表示向量时反思感悟(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.

跟踪训练2如图，连接AC，EF，D1F，BD1，＝a－b－c.

空间向量基本定理的应用三

在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝(1)证明：EF⊥B1C；例1则{i，j，k}构成空间的一个正交基底.即EF⊥B1C.

(2)求EF与C1G所成角的余弦值.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝

若本例条件不变，M为A1B的中点，证明：MF∥B1C.延伸探究在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝又MF，B1C无公共点，所以MF∥B1C.

(1)证明平行、共面问题的思路反思感悟①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行.②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.(2)求夹角、证明线线垂直的方法利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况.

已知在直三棱柱ABC