高考数学（人教B理）一轮复习讲义第六章数列第3节.doc

第3节等比数列及其前n项和

必威体育精装版考纲1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.

知识梳理

1.等比数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.

数学语言表达式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).

(2)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项.

2.等比数列的通项公式及前n项和公式

(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；

通项公式的推广：an＝amqn－m.

(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).

3.等比数列的性质

已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.

(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an.

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，

ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.

(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.

[常用结论与微点提醒]

1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))也是等比数列.

2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.()

(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()

(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝eq\f(a（1－an）,1－a).()

(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.()

解析(1)在等比数列中，q≠0.

(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.

(3)当a＝1时，Sn＝na.

(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.

答案(1)×(2)×(3)×(4)×

2.(教材习题改编)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则公比q等于()

A.－eq\f(1,2) B.－2 C.2 D.eq\f(1,2)

解析由题意知q3＝eq\f(a5,a2)＝eq\f(1,8)，即q＝eq\f(1,2).

答案D

3.(2018·湖北省七市联考)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为()

A.8 B.9 C.10 D.11

解析由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，

∴m＝10.

答案C

4.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝________.

解析由an＋1＝2an，知数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝eq\f(2（1－2n）,1－2)＝126，解得n＝6.

答案6

5.(2017·北京卷)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则eq\f(a2,b2)＝________.

解析{an}为等差数列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.{bn}为等比数列，b1＝－1，b4＝8＝b1·q3＝－q3，∴q＝－2，

∴b2＝b1·q＝2，则eq\f(a2,b2)＝eq\f(2,2)＝1.

答案1

考点一等比数列基本量的运算

【例1】(1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.

(2)(2017·江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝eq\f(7,4)，S6＝eq\f(63,4)，则a8＝________.

解析(1)由{an}为等比数列，设公比为q.

由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝－1，