2025年中考数学复习--第43讲 圆与三角函数.docx

第43讲圆与三角函数

典例精练

【例1】(2023武汉)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E.若ABCD=

A.23B.53C.3

【例2】(2024武汉)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点.

(1)求证:AB与半圆O相切;

(2)连接OA.若CD=4,CF=2,求sin∠OAC的值.

针对训练

1.如图,已知AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为()

A.713B.1213C.712

2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

3.在锐角△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为(a,b,c,asin

A.16π3

4.(2024临夏)如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则EF的长度为.

5.如图,⊙O过矩形ABCD的顶点A,与BC,DC相切于点F,G,交AB于点E.若⊙O的半径为5,tan∠EFB=12

6.(2024广西)如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC.点D,E分别是BC,AC的中点,连接DE并延长至点F,使DE=EF,连接AF.

(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；

(2)若tan∠BAC=

7.(2023湖南)如图,AB是⊙O的直径,AC是一条弦,D是AC的中点，DE?AB于点E,交AC于点F,交⊙O于点H,DB交AC于点G.

(1)求证:AF=DF;

(2)若AF=52

8.如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,∠BDC+2∠ABD=9

(1)求证:AD

(2)若AC=42,

第43讲圆与三角函数

典例精练

【例1】(2023武汉)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E.若ABCD=

A.23B.53C.3

【例2】(2024武汉)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点.

(1)求证:AB与半圆O相切;

(2)连接OA.若CD=4,CF=2,求sin∠OAC的值.

解:(1)证明:连接OA,OD,作ON⊥AB交AB于N,

∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,∴AO⊥BC,AO平分∠BAC,

∵AC与半圆O相切,∴OD⊥AC,

∵ON⊥AB,∴ON=OD,∴AC是半圆O的切线.

(2)由(1)可知AO⊥BC,OD⊥AC,∴∠AOC=90°,∠ODC=90°,

∴∠OAC|∠OCA=180°-∠AOC=90°,∠COD+∠OCA=180°-∠ODC=90°,

∴∠OAC=∠COD,∴sin∠OAC=sin∠COD=°?,

∵OF=OD,CF=2,∴CD=4,OC=OF+FC=OD+2,

∵在Rt△ODC中,OC2=CD2+OD2,∴(OD+2)2=42+OD2,解得OD=3.

∴

针对训练

1.如图,已知AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为(B)

A.713B.1213C.712

2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

3.在锐角△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,asin

A.16π3

4.(2024临夏)如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则EF的长度为2π

5.如图,⊙O过矩形ABCD的顶点A,与BC,DC相切于点F,G,交AB于点E.若⊙O的半径为5,tan∠EFB=12

6.(2024广西)如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC.点D,E分别是BC,AC的中点,连接DE并延长至点F,使DE=EF,连接AF.

(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；

(2)若tan∠BA