2025年中考数学考点专题讲练-第三节 直线与圆的位置关系.docx

第三节直线与圆的位置关系

专题讲练1圆与切线(一)——切线证明(1)扫码查看

考点一知公共点，证垂直

【典例1】如图,AB是⊙O的直径,点C,F在⊙O上,连接AC,AF,AC平分∠FAB,过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D,垂足为点D.求证:CD是⊙O的切线.

变式1.如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,且AB=BC=CD,AB∥CD,连接BD.求证:BD是⊙O的切线.

变式2.如图,AB是⊙O的直径,AC=

考点二不知公共点，证d=r

【典例2】如图，点O为正方形ABCD的对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于M点,求证:CD是⊙O的切线.

变式1.如图,△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为圆心的圆与AB相切于点E,求证:AC与⊙O相切.

变式2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,⊙O分别与边AB,AD,DC相切,切点分别为E,G,F,其中E为边AB的中点.求证:BC与⊙O相切.

C

专题讲练2圆与切线(二)——切线证明(2)

考点一连切点，算圆心角分解图形的面积

【典例】(2023·十堰)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点O在AB上,以O为圆心,OA为半径的半圆分别交AC,BC,AB于点D,E,F,且点E是弧DF的中点.

(1)求证:BC是⊙O的切线;

(2)若CE=2

变式1.如图,AE为⊙O的直径,PA为⊙O切线,A为切点,点B为⊙O上一点,PO⊥AB于C.

(1)求证:PB是⊙O的切线;

(2)延长PB交直线AE于F,若PA=2AC,AO=2,求图中阴影部分面积.

考点二将阴影部分面积分解为扇形面积与三角形面积

变式2.如图,AB为⊙O的直径,点C为⊙O上一点,CD⊥AD,AD交⊙O于E,AC平分∠BAD.

(1)求证:CD是⊙O的切线;

(2)连CE,CE∥AB,AB=4,求图中阴影部分的面积.

变式3.如图,⊙O为△ABC的内切圆,AB=8,AC=5,∠A=60°,则图中阴影部分的面积为()

A.722?23

专题讲练3圆与切线(三)——四边形与切线

考点一与四边形两边相切

【典例】(2024·江岸)教材P91T17改编如图，在足球比赛中，运动员甲从本方后场D处沿着垂直于对方球门线PQ的方向带球前进，DC⊥PQ，垂足为C，若PQ=8米，PC=2米，若仅从射门角度大小考虑(射门角度越大越容易进球)，则甲位于最佳射门位置时离点C的距离为()

A.4米B.25米C.26D.5米

考点二与四边形一边相切，连切点，运用垂径定理

变式1.如图,⊙O过正方形ABCD的顶点A,B,且与CD边相切,若AB=2,求⊙O的半径R的长.

变式2.如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆，边长为4，AM为⊙O的切线，M为切点,AM的延长线交直线DC于N点,求CN的长.

考点三知切线，连切点得矩形，用勾股

变式3.(教材P98例1变式)如图,PA,PB为⊙O切线,A,B,C三点在⊙O上,且PA‖BC,⊙O的半径为5,BC=8,求PA的长.

专题讲练4圆与切线(四)——等腰三角形与切线

考点一由等角寻等腰用勾股

【典例1】如图,AB与⊙O相切于点B,BC为⊙O的弦,OC⊥OA,OA与BC相交于点P.

(1)求证:AP=AB;

(2)若sinC=5

变式.(2024·武汉模拟)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,OD⊥OC,连接AD,∠ADO=∠BOC,AC与OD相交于点E.

(1)求证:AD是⊙O的切线;

(2)若tan∠OAC=1

考点二知切线连切点证等角用双勾股

【典例2】如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,交⊙O于点P,OA=5,AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.

(1)求证:AB=AC;

(2)若PC=25

变式.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AC上,以OA为半径的⊙O交AB于点D,交AC于点E,过点D作⊙O的切线DF,交BC于点F.

(1)求证:BF=DF;

(2)若CE=CF=1,BF=3,求AB的长.

专题讲练5圆与切线(五)——矩形与切线

考点·知切线连切点——勾股列方程

【典例1】(2024·武汉)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点.

(1)求证:AB与半圆O相切;

(2)连接OA.若CD=4,CF=2,求sin∠OAC的值.

变式.