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2025-04-01 发布于山东
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职教高考对数及其运算.docx

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中职对数及其运算

[知识整合]

基础知识

1．对数的概念

若ab＝N(a0且a≠1)，则b叫作以a为底N的对数，即logaN＝b.其中a叫作底，N叫作真数．

常用对数：以10为底的对数叫作常用对数(如lg2)．

自然对数：以e为底的对数叫作自然对数(如ln3)．

2．对数的性质

(1)负数和零没有对数；

(2)1的对数为0，即loga1＝0；

(3)底的对数为1，即logaa＝1.

3．对数恒等式

(1)logaaN＝N(a0且a≠1)；

(2)alogaN＝N(a0且a≠1)．

4．对数的运算法则(a0且a≠1，M0，N0)

(1)logaM＋logaN＝loga(MN)；

(2)logaM－logaN＝logaeq\f(M,N)；

(3)logaMn＝nlogaM.

5．换底公式

logab＝eq\f(logcb,logca)(a0，c0且a≠1，c≠1，b0)

基础训练

1．下列计算正确的是()

A．(－1)－1＝1B．lga＋lgb＝lg(a＋b)C．(－x5)÷(－x3)＝x2D.eq\r(a2＋1)＝a＋1

2．log93＝eq\f(1,2)中，____________叫作对数的底，____________叫作真数．

3．指数式0.3x＝0.09写成对数式为____________．

4．(1)log21＝____________；(2)log22＝____________；(3)log53＋log5eq\f(1,3)＝____________；

(4)log9＝____________；(5)lg0.01＝____________；(6)lne2＝____________；

(7)lg2＋lg5＝____________；(8)log26－log23＝____________；(9)eq\f(log38,log32)＝____________；

(10)log335＝____________．

5．若logx8＝eq\f(1,3)，则x＝____________．

[重难点突破]

考点1对数的概念

例1将下列等式互化．

(1)2－3＝eq\f(1,8)；(2)log464＝3.

【解】(1)将指数化为对数式log2eq\f(1,8)＝－3；

(2)将对数化为指数式43＝64.

【变式训练】将下列等式互化：(1)52＝25(2)log93＝eq\f(1,2)

考点2对数运算

例2log31＋log3eq\f(1,3)的值为____________．

【解析】log31＋log3eq\f(1,3)＝0－1＝－1.

【变式训练】下列运算不正确的是()

A．log210－log25＝1B．log210＋log25＝log215C．20＝1D．210÷28＝4

例3求下列各式的值：

(1)log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(log216－log2\f(5,8)＋log210)))；

(2)(lg5)2＋lg4·lg5＋(lg2)2.

【解】(1)log2(log216－log2eq\f(5,8)＋log210)＝log2(log2eq\f(16×10,\f(5,8)))＝log2(log2256)＝log28＝3；

(2)(lg5)2＋lg4·lg5＋(lg2)2＝(lg5)2＋2lg2·lg5＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝(lg10)2＝1.

【变式训练】计算：(1)eq\f(lg5＋lg6－1,lg27＋2lg\f(1,3))；(2)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2.

例4已知52－x＝1，求eq\f(logx8?log9\r(3,x),log\s\do9(\f(1,3))\r(x)?log\s\do9(\f(1,2))x2)的值．

【解】∵52－x＝1＝50，∴2－x＝0，x＝2，

∴eq\f(logx8?log9\r(3,x),log\s\do9(\f(1,3))\r(x)?log\s\do9(\f(1,2))x2)＝eq\f(logx23?log32x\s\up6(\f(1,3)),log3－1x\s\up6(\f(1,2))?log2－1x2)＝eq\f(3logx2?\f(1,6)log3x,－\f(1,2)log3x?（－2log2x）)＝eq\f(logx2,2log2x)＝eq\f(1,2).

【变式训练】已知eq\f(log98?log28,log\s\do9(\f(1,2))x?log3\r(9,2))＝－eq\f(81,2)，求42＋log2x.

例5(1)设2a＝3b＝36，求eq\f(1,a)＋