2024_2025学年新教材高中数学第六章统计学初步4.1用样本估计总体的集中趋势学案湘教版必修第一册.docVIP

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用样本估计总体的集中趋势

新课程标准解读

核心素养

1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)

数据分析、数学运算

2.理解集中趋势参数的统计含义

数学运算、数学建模

中国体育彩票的种类有：超级大乐透、排列3、排列5、七星彩、地方体彩、足球彩票、竞彩、顶呱刮等等．体育彩票市场曾创建了多数的神话，相当一部分中奖者在谈及自己的中奖经验时都表示他们能够中奖，是经过长期探讨体育彩票的统计量，用样本估计总体的集中趋势，然后得出较科学的“推想”结果．

[问题]你想知道他们探讨哪些统计量才有助于科学“推想”的吗？

学问点一统计学中的两个统计概念

1．总体参数：是用来描述总体特征的指标，常见的总体参数有总体平均数、众数和中位数及总体方差等．

2．统计量：是用来描述样本特征的指标，常见的统计量有样本平均数、样本方差等．

统计学的基本思想是什么？

提示：用样本统计量中的数据特征估计总体参数的数据特征．

学问点二平均数(均值)

1．若样本容量为n，第i个个体是xi，则样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)．

2．若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为f1，f2，…，fn，则其平均数为eq\o(x,\s\up6(－))＝x1f1＋x2f2＋…＋xnfn．

3．分层抽样中总体均值μ的简洁估计

在分层抽样中，用N表示总体A的个体总数，若将总体A分为L层，用Ni表示第i层(i＝1，2，…，L)的个体总数，则有N＝N1＋N2＋…＋NL.

我们称Wi＝eq\f(Ni,N)(i＝1，2，…，L)为第i层的层权，对i＝1，2，…，L，用eq\o(x,\s\up6(－))i表示从第i层抽出样本的平均值，我们称eq\o(X,\s\up6(－))＝W1eq\o(x,\s\up6(－))1＋W2eq\o(x,\s\up6(－))2＋…＋WLeq\o(x,\s\up6(－))L是总体均值μ的简洁估计．

1．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．

解析：eq\f(4＋6＋5＋8＋7＋6,6)＝6.

答案：6

2．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：

等待时间

(分钟)

[0，5)

[5，10)

[10，15)

[15，20)

[20，25]

频数

4

8

5

2

1

用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x＝________．

解析：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5.

答案：9.5

学问点三众数、中位数

1．众数：观测数据中出现次数最多的数是众数．

2．中位数：将一组观测数据按从小到大的依次排列后，处于中间位置的数是中位数．

详细而言，当数据的个数是奇数时，处于中间位置的数就是中位数；当数据的个数是偶数时，则中间两个数的平均数即为中位数．

eq\a\vs4\al()

众数、中位数、平均数的比较

名称

优点

缺点

众

数

①体现了样本数据的最大集中点；

②简洁计算

①它只能表达样本数据中很少的一部分信息；

②无法客观地反映总体的特征

中

位

数

①不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响；

②简洁计算，便于利用中间数据的信息

对极端值不敏感

平

均

数

代表性较好，是反映数据集中趋势的量．一般状况下，可以反映出更多的关于样本数据的信息

任何一个数据的变更都会引起平均数的变更．数据越“离群”，对平均数的影响越大

1．中位数肯定是样本数据中的一个数吗？

提示：不肯定．一组数据按大小依次排列后，假如有奇数个数据，处于中间位置的数据就是中位数；假如有偶数个数据，则取中间两个数据的平均数才是中位数．

2．一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？

提示：一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯一一个．

某射击小组有20人，教练将他们某次射击的数据绘制成如下表格，则这组数据的众数和中位数分别是()

环数

5

6

7

8

9

10

人数

1

2

7

6

3

1

A.7，7 B．8，7.5

C．7，7.5 D．8，6

解析：选C从表中数据可知7环有7人，人数最多，所以众数是7；中位数是将数据从小到大排列，第10个与第11个数据的平均数，第10个数是7，第11个数是8，所以中位数是eq\f(7＋8,2)＝7.5.

众数、中位数、平均数的计算

[例1](链接教科书第230页例1)