2024年新教材高考数学临考题号押第13题二项式定理含解析.docxVIP

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押第13题二项式定理

二项式定理是高考全国卷的一个高频考点,大多为基础题,且以小题的形式进行考查,考查热点是求二项绽开式指定项的系数，或求形如的绽开式中指定项的系数.

1．二项式定理的绽开式

,其中组合数叫做第r+1项的二项式系数；绽开式共有n+1项.

留意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数.如在的绽开式中,第ｒ＋１项的二项式系数为,第ｒ＋１项的系数为；而的绽开式中的系数就是二项式系数；（2）当n的数值不大时往往借助杨辉三角干脆写出各项的二项式系数；（3）审题时要留意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？（4）特例：

2.二项式定理的通项

二项绽开式中第r+l项称为二项绽开式的通项,二项绽开式通项的主要用途是求指定的项.主要用于求常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时,要依据通项公式探讨对的限制；求有理项时要留意到指数及项数的整数性.

留意：通项公式是表示第项,而不是第项.绽开式中第项的二项式系数与第项的系数不同.通项公式中含有五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中,经常遇到已知这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必需留意是正整数,是非负整数且≤.

3.项的系数和二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）．

(2)增减性与最大值：

当时,二项式系数C的值渐渐增大,当时,C的值渐渐减小,且在中间取得最大值.当n为偶数时,中间一项（第＋1项）的二项式系数取得最大值.当n为奇数时,中间两项（第和＋1项）的二项式系数相等并同时取最大值.

(3)各二项式系数和：∵,令,则,

(4)用二项式定理进行近似运算,关键是恰当地舍取不影响精度的项,一般地：当很小时,有.

4.二项定理问题的处理方法和技巧

⑴运用二项式定理肯定要牢记通项,留意与虽然相同,但详细到它们绽开式的某一项时是不同的,肯定要留意依次问题,另外二项绽开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指,而后者是字母外的部分．前者只与和有关,恒为正,后者还与,有关,可正可负．

⑵对于二项式系数问题,应留意以下几点：

①求二项式全部项的系数和,可采纳“特别值取代法”,通常令字母变量的值为1；

②关于组合恒等式的证明,常采纳“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；

③证明不等式时,应留意运用放缩法.

⑶求二项绽开式中指定的项,通常是先依据已知条件求,再求,有时还需先求,再求,才能求出.

⑷有些三项绽开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决,但要留意分类清晰,不重不漏.

⑸对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要驾驭赋值法,赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.

⑹近似计算要首先视察精确度,然后选取绽开式中若干项.

⑺用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再绽开,常采纳“配凑法”“消去法”协作整除的有关学问来解决.

多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当留意令值法的运用,例如求常数项,可令.在二项式的绽开式中,要留意项的系数和二项式系数的区分.

5.求绽开式系数最大项

如求()的绽开式系数最大的项,一般是采纳待定系数法,设绽开式各项系数分别为,且第项系数最大,应用从而解出k来,即得．

6.二项式应用问题

(1)利用二项式定理解决整除问题时,关键是进行合理地变形构造二项式,应留意：要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理绽开后的各项均能被另一个式子整除即可．

(2)求余数问题时,应明确被除式与除式(),商式与余式的关系及余式的范围．

(3)绽开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时,先要合并通项中同一字母的指数,再依据上述特征进行分析．

(4)有关求二项绽开式中的项、系数、参数值或取值范围等,一般要利用通项公式,运用方程思想进行求值,通过解不等式(组)求取值范围．

7.二项式定理是一个恒等式,运用时有两种思路：

一是利用恒等定理(两个多项式恒等,则对应项系数分别相等)；二是赋值．二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使许多求二项绽开式的系数的问题迎刃而解．

赋值法是处理组合数问题、系数问题的最有效的经典方法,一般对随意,某式子恒成立,则对中的特别值,该式子肯定成立,特别值如何选取视详细状况确定,敏捷性较强,一般取居多.若则设.有：

①②

③④

⑤

1．（2024·山东·高考真