2025届高考数学二轮复习微专题10　空间向量与立体几何.docxVIP

《全品高考第二轮专题》

微专题10空间向量与立体几何

1.探究性问题一般都是采用待定系数法,通过解方程的方式求解,试题的求解过程应该依据相应题型的常规解法进行.

2.应用空间向量求解立体几何的综合性问题,主要是解决计算问题,关键是确定对应平面的法向量,求解过程中依据相应题型按部就班地进行求解即可.

3.对于不太好建立空间直角坐标系的问题,还要注意对定义和几何法的应用,求解空间角的重点在于如何通过平移将要求的空间角转化为平面角,再借助正余弦定理求解相应角的大小;求解空间距离时如果不好判断垂足位置,可借助等面积法或等体积法.

1[2024·南京二模]如图,在五面体ABCDEF中,CD⊥平面ADE,EF⊥平面ADE.

(1)求证:AB∥CD;

(2)若AB=2AD=2EF=2,∠ADE=∠CBF=90°,点D到平面ABFE的距离为22,求平面ABFE与平面CBF的夹角的大小

解:(1)证明:因为CD⊥平面ADE,EF⊥平面ADE,

所以CD∥EF,

因为CD?平面ABFE,EF?平面ABFE,

所以CD∥平面ABFE,

因为平面ABFE∩平面ABCD=AB,AB?平面ABCD,

所以AB∥CD.

(2)因为CD⊥平面ADE,AB∥CD,所以AB⊥平面ADE,又AD,AE?平面ADE,所以AB⊥AD,AB⊥AE,

又因为CD⊥平面ADE,AD,ED?平面ADE,

所以CD⊥AD,CD⊥ED,

又∠ADE=90°,AD∩DC=D,AD,DC?平面ABCD,所以ED⊥平面ABCD.连接BD,BE,由VD-ABE=VE-ABD,得S△ABE×22=S△ABD·ED,故12AB·AE×22=12AB·AD·ED,则AE×22=AD·ED,则

故△AED为等腰直角三角形,所以AE=2,ED=AD=1.

如图,以D为坐标原点,DA,DC,DE所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

设DC=c,则A(1,0,0),B(1,2,0),D(0,0,0),C(0,c,0),E(0,0,1),F(0,1,1),

所以BF=(-1,-1,1),BC=(-1,c-2,0),

因为∠CBF=90°,所以BF·BC=(-1,-1,1)·(-1,c-2,0)=1+2-c=0,解得c=3.

设平面ABFE的法向量为m=(x1,y1,z1),平面CBF的法向量为n=(x2,y2,z2),

因为AB=(0,2,0),BF=(-1,-1,1),

所以BF·m

令x1=1,则m=(1,0,1),

因为BC=(-1,1,0),BF=(-1,-1,1),

所以BC·n

令x2=1,则n=(1,1,2).

设平面ABFE与平面CBF的夹角为θ,

则cosθ=m·n|m||n|=3

2[2024·成都三模]如图,某种风筝的骨架模型是四棱锥P-ABCD,其中AB=AD=AP=2,CB=CD=CP=4,AC交BD于点O.

(1)求证:平面PAC⊥平面PBD;

(2)若AC=25,且二面角P-AC-B的大小为2π3,求直线PB与平面PAD所成角的正弦值

解:(1)证明:因为AB=AD,CB=CD,

所以A,C均在BD的垂直平分线上,所以AC⊥BD,BO=OD.

因为AB=AP,BC=PC,AC=AC,

所以△ABC≌△APC,

因为BO⊥AC,所以PO⊥AC,

又因为AC⊥BD,PO∩BD=O,PO?平面PBD,BD?平面PBD,

所以AC⊥平面PBD,

因为AC?平面PAC,

所以平面PAC⊥平面PBD.

(2)由(1)可知OB⊥OC,

以O为原点,OB,OC所在直线分别为x,y轴,过点O且垂直于平面OBC的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

因为AB=2,BC=4,AC=25,

所以AB2+BC2=AC2,所以∠ABC=π2

从而由等面积法可知BO=AB·BCAC=825=455,由勾股定理得AO

由(1)可知BO=OD=OP,所以OD=OP=45

由(1)可知PO⊥AC,BO⊥AC,又平面ABC∩平面APC=AC,OB?平面ABC,OP?平面APC,且二面角P-AC-B的大小为2π3

所以∠POB=2π3

所以PO与z轴所在直线的夹角为π6

所以P-2

因为B455,0,0,

所以PB=655,0,-2155

设平面PAD的法向量为n=(x,y,z),

则PA

令z=-1,得x=3,y=23,

所以平面PAD的一个法向量为n=(3,23,-1).

设直线PB与平面PAD所成的角为θ,

则sinθ=|cosn,PB|=|n·PB||

所以直线PB与平面PAD所成角的正弦值为12

3如图,在四棱锥P-ABCD中,AP=AC,底面ABCD为等腰梯形,CD∥AB,AB=2CD=2BC=2,E为棱PC的中点,PC⊥CB.

(1)证明:AE⊥平面PCB