2025届高考数学二轮复习微专题12　条件概率、全概率与贝叶斯公式.docxVIP

《全品高考第二轮专题》

微专题12条件概率、全概率与贝叶斯公式

1.全概率问题其实就是“分类讨论”,求解过程中要对所有的情况都考虑到,即不重不漏.其公式为:P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B|Ai),应该是先求的交事件概率

2.条件概率的判断主要是依据关键词和“先后”的含义.

1(1)[2024·江苏苏州三模]已知P(A)=0.4,P(AB)=0.3,P(B|A)=0.5,则P(B)=0.6.?

(2)[2024·河南商丘模拟]已知P(A)=13,P(B|A)=12,P(B|A)=56,则P(B)=?

[解析](1)因为P(B|A)=P(AB)P(A)=P(AB)1-P(A)=P(AB)0.6=0.5,

(2)因为P(A)=13,P(B|A)=12,P(B|A)=56,所以P(A)=1-13=23,P(B|A)=1-P(B|A)=1-56=16,故P(B)=P(BA)+P(BA)=P(B|A)·P(A)+P(B|A)·P(A)=12×

2[2024·上海奉贤区三模]若规定在一场羽毛球赛中,只有发球方赢得这一球才可以得分,即如果发球方在此回合的争夺中输球,则双方均不得分.但发球方输掉此回合后,下一回合改为对方发球.

(1)在此比赛制度下,运动员甲每一回合比赛赢球的概率均为34,且各回合比赛相互独立.若第一回合运动员甲发球,求第二回合比赛有运动员得分的概率

(2)羽毛球比赛中,先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势,若各回合比赛相互独立,且比赛双方运动员甲和乙的实力相当,即每回合比赛中甲获胜的概率均为12.求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率,并说明这种规则是否合理

解:(1)设A1表示事件“第一回合运动员甲赢球”,A2表示事件“第二回合运动员甲赢球”,

B表示事件“第二回合比赛有运动员得分”.

由已知得,P(A1)=34,P(A2)=34,P(A1)=14,P(A2)=14,P(B|A1)=P(A2),P(B|

则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A1)P(B|A1)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)=34×34+

即第二回合比赛有运动员得分的概率为58

(2)不妨设运动员甲先发球,记Ai表示事件“第i回合运动员甲赢球”,i=1,2,…,

记A表示事件“运动员甲先得第一分”,

则A=A1∪(A1A2A3)∪(A1A2A3A4A5

则P(A)=12+123

所以P(A)12,即第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率大于1

则比赛双方运动员实力相当的情况下,先发球者更大概率占据心理上的优势,所以这种规则不合理.

3(1)抛掷两颗质地均匀的骰子各一次,其中白色骰子与黑色骰子各一颗,记A=“白色骰子的点数为4或5”,B=“两颗骰子的点数之和大于8”,则P(B|A)=?512,P(A|B)=?12

(2)在某一季节,疾病M1的发病率为2%,患者中40%表现出症状N;疾病M2的发病率为5%,患者中18%表现出症状N;疾病M3的发病率为0.5%,患者中60%表现出症状N.则以下结论中错误的是 (D)

A.任意一位患者有症状N的概率为0.02

B.患者有症状N时患疾病M1的概率为0.4

C.患者有症状N时患疾病M2的概率为0.45

D.患者有症状N时患疾病M3的概率为0.25

[解析](1)易知P(A)=26=13.抛掷白、黑两颗骰子各一次,试验的样本空间有36个样本点,用(x,y)中的x,y分别表示抛掷白、黑两颗骰子所得的点数,则B={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共有10个样本点,所以P(B)=1036=518,P(AB)=536,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=53613

(2)设Di=“患疾病Mi”,i=1,2,3,S=“患者有症状N”.由题意可知P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(S|D1)=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6.由全概率公式可知P(S)=P(S|D1)P(D1)+P(S|D2)P(D2)+P(S|D3)P(D3)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02,因此选项A中结论正确;由贝叶斯公式可知P(D1|S)=P(D1)P(S|D1)P(S)=0.02×0.40.02=0.4,因此选项B中结论正确;P(D2|S)=P(D2)P(S|D