2025届高考数学二轮复习微专题16　直线与圆.docxVIP

《全品高考第二轮专题》

微专题16直线与圆

1.解决直线与圆的位置关系时,如果题干没有圆的方程,需要根据题干中的条件先求出相应的方程,然后转化成熟悉的题型,此类题型只要注意选择合适的方法进行转化即可.

1[2024·南昌模拟]已知点A(1,0),B(4,0),C(2,1),动点P满足|PA||PB|=12,则|PB|+2|PC|取得最小值时

A.(7+1,7-1) B.(6+1,6-1)

C.7+12,7-

[解析]设P(x,y),由|PA||PB|=12,得(x-1)2+y2(x-4)2+y2=12,整理得点P的轨迹方程是x2+y2=4,由|PA||PB|=12,得|PB|=2|PA|,所以|PB|+2|PC|=2(|PA|+|PC|),故当且仅当P,A,C三点共线,且点P在A,C之间时,|PB|+2|PC|取得最小值

2.直线与圆综合应用相关试题通常会以不等式或者三角函数为载体,解题的关键点是需要挖掘隐藏条件,将问题转化为直线与圆相关的问题,此类相关试题中三角代换也是常见的转化方法.

2[2024·上海交大附中四模]平面内的点集(x,y)|(x-

[解析]点集{(x,y)|(x-cosθ)2+(y-sinθ)2=9,θ∈R}是以(cosθ,sinθ)为圆心,3为半径的圆上的点的集合,又点(cosθ,sinθ)在以(0,0)为圆心,1为半径的圆上,所以平面内的点集{(x,y)|(x-cosθ)2+(y-sinθ)2=9,θ∈R}所构成的区域为图中阴影部分(含边界),其面积为(42-22)π=12π.

3.圆与圆的位置关系问题中要注意,若问题不是直接讨论两圆的位置关系,或者给出两圆的位置关系求参数时,以单圆的形式出现,则一般会有个隐圆.我们需要挖掘隐藏条件或将一些不等式、不等关系进行转化,找到另一个隐藏的圆,然后转化为判断圆与圆位置关系相关的试题.

3[2024·郑州模拟]已知点P在圆O:x2+y2=1上运动,若对任意点P,在直线l:x+y-4=0上均存在两点A,B,使得∠APB≥π2,则线段AB长度的最小值是42+2.?

[解析]如图①,由题可知,圆O的圆心为点O(0,0),半径R=1.

若对任意点P,在直线l:x+y-4=0上均存在两点A,B,使得∠APB≥π2,则O:x2+y2=1上的点均在以AB为直径的圆内或圆上,即以AB为直径的圆与圆O的位置关系为内切或内含.如图②,设C为直线l上一点,连接CO并延长,CO的延长线交圆O于

当CO⊥l时,以C为圆心,CM为半径作圆,交直线l于A,B两点,此时∠AMB=π2,又此时线段CM的长度取得最小值,所以此时线段AB的长度取得最小值.点O(0,0)到直线l的距离d=|0+0-4|1+1=22,所以线段AB长度的最小值为2(