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即时挑战题解题库

选择题

1.若函数$f(x)=2x^21$的图象上一点$(1,1)$及邻近一点$(1+\Deltax,1+\Deltay)$，则$\frac{\Deltay}{\Deltax}$等于（）

A.$4$

B.$4x$

C.$4+2\Deltax$

D.$4+2(\Deltax)^2$

答案：C

解析：因为\(\Deltay=f(1+\Deltax)f(1)=2(1+\Deltax)^21(2\times1^21)=2(1+2\Deltax+(\Deltax)^2)11=4\Deltax+2(\Deltax)^2\)，所以\(\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{4\Deltax+2(\Deltax)^2}{\Deltax}=4+2\Deltax\)。

2.下列函数中，在区间\((0,+\infty)\)上单调递增的是（）

A.\(y=x+1\)

B.\(y=(x1)^2\)

C.\(y=\frac{1}{x}\)

D.\(y=2^x\)

答案：D

解析：选项A，一次函数\(y=x+1\)的斜率\(k=1\lt0\)，在\(R\)上单调递减；选项B，二次函数\(y=(x1)^2\)的对称轴为\(x=1\)，在\((0,1)\)上单调递减，在\((1,+\infty)\)上单调递增；选项C，反比例函数\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上单调递减；选项D，指数函数\(y=2^x\)，底数\(a=2\gt1\)，在\(R\)上单调递增，所以在\((0,+\infty)\)上单调递增。

填空题

1.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,3)\)，若向量\(\vec{c}\)满足\((\vec{c}+\vec{a})\parallel\vec{b}\)，\(\vec{c}\perp(\vec{a}+\vec{b})\)，则\(\vec{c}=\)______。

答案：\((\frac{7}{9},\frac{7}{3})\)

解析：设\(\vec{c}=(x,y)\)，则\(\vec{c}+\vec{a}=(x+1,y+2)\)，\(\vec{a}+\vec{b}=(3,1)\)。因为\((\vec{c}+\vec{a})\parallel\vec{b}\)，所以\(3(x+1)2(y+2)=0\)，即\(3x32y4=0\)，\(3x+2y=7\)①；又因为\(\vec{c}\perp(\vec{a}+\vec{b})\)，所以\(3xy=0\)，即\(y=3x\)②。将②代入①得\(3x+2\times3x=7\)，\(9x=7\)，\(x=\frac{7}{9}\)，则\(y=3x=\frac{7}{3}\)，所以\(\vec{c}=(\frac{7}{9},\frac{7}{3})\)。

2.函数\(y=\sqrt{2x1}+\sqrt{52x}(\frac{1}{2}\ltx\lt\frac{5}{2})\)的最大值为______。

答案：\(2\sqrt{2}\)

解析：根据柯西不等式\((a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geqslant(ac+bd)^{2}\)，对于\(y=\sqrt{2x1}+\sqrt{52x}\)，令\(a=\sqrt{2x1}\)，\(b=\sqrt{52x}\)，\(c=1\)，\(d=1\)，则\(y^{2}=(\sqrt{2x1}+\sqrt{52x})^{2}\leqslant(1+1)[(2x1)+(52x)]=8\)，当且仅当\(\sqrt{2x1}=\sqrt{52x}\)，即\(x=\frac{3}{2}\)时取等号，又\(y\gt0\)，所以\(y\leqslant2\sqrt{2}\)，即函数的最大值为\(2\sqrt{2}\)。

判断题

1.若两条直线的斜率相等，则这两条直线一定平行。（）

答案：错误

解析：当两条直线的斜率相等时，若两条直线重合，则不能说这两条直线平行，只有当斜率相等且截距不相等时，两条直线才平行，所以该说法错误。

2.若\(a\gtb\)，则\(a^2\gtb^2\)。（）

答案：错误

解析：当\(a=1\)，\(b=2\)时，\(a\gtb\)，但是\(a^{2}=1\)，\(b^{2}=4\)，此时\(a^{2