江苏省如皋中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）.docx

江苏省如皋中学2024-2025学年度第二学期综合练习

高一数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1若，，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用平面向量的加减运算的坐标表示可得结果.

【详解】易知.

故选：D

2.若函数，则可以化简为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用辅助角公式求出答案.

【详解】，C正确；

其他选项不满足要求.

故选：C

3.在中，为边上的中线，为的中点．则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.

【详解】因为中，为边上的中线，为的中点，

所以，

故选：A．

4.已知，，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据两角和（差）的余弦公式得到方程组，求出、，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】因为，，

所以，解得，

所以

故选：A.

5.已知，且，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用同角基本关系式求出，利用，结合和差角公式可解.

【详解】由，则，

又，，

而

.

故选：D.

6.在中，，，则的形状为（）

A.等腰直角三角形 B.三边均不相等的三角形

C.等边三角形 D.等腰（非直角）三角形

【答案】A

【解析】

【分析】由数量积的运算律得到，即可得到，再由数量积的定义求出，即可判断.

【详解】因为，即，即，

所以，即，则，

又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，

所以，又，所以，

所以，

所以是等腰直角三角形．

故选：A

7.已知α，β为锐角，，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用同角的三角函数关系求得，进而利用两角各的余弦公式求得，可求的值.

【详解】∵为锐角，，

∴，

∴．

又，∴.

故选：B．

8.已知，，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用和角的正弦公式将展开，再用商数关系弦化切即可求解.

【详解】因为，

将式子的左右两侧同时除以，可得

，

即.

故选：D

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中；有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.（多选）关于平面向量，，，下列说法中正确的是（）

A. B.

C.若，则与的夹角为钝角 D.

【答案】AD

【解析】

【分析】运用向量的数量积定义，运算律,夹角概念逐个计算验证即可.

【详解】

A

√

根据向量的运算律可知，A正确

B

×

表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，则与不一定相等

C

×

当两个非零向量与的方向相反时，，此时与的夹角为，不是钝角

D

√

若与中至少有一个零向量，则，此时与共线；

若与均为非零向量，设与的夹角为，则，可得．

又，所以或，即与共线，反之也成立．

综上，

故选：AD

10.下列各式中，计算结果为的是（）

A. B.

C. D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据三角恒等变换，化简求值.

【详解】A.

，故A正确；

B.，故B错误；

C.，故C正确；

D.

，故D正确.

故选：ACD

11.已知向量，，，下列说法正确的是（）

A.若，则

B.设函数，则的最大值为2

C.最大值为

D.若，且在上投影向量为，则与的夹角为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据判断A，由数量积的坐标表示及辅助角公式判断B，根据向量模的坐标表示及辅助角公式判断C，根据投影向量的定义及夹角公式判断D.

【详解】对于A：若，则，所以，故A正确；

对于B：，

所以当，即时取得最大值，最大值为，故B正确；

对于C：因为，

所以，

所以当时取得最大值，最大值为，故C错误；

对于D：在上的投影向量为，所以，

所以，

又，所以，此时，故D正确.

故选：ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.，，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】利用两角和的正切公式可求得结果.

【详解】由已知条件可得

.

故答案为：.

13.已知，则的面积为______．

【答案】5

【解析】

【分析】利用平面向量的数量积得到，进而确定三角形的底和高，再利用三角形面积公式求解面积即可.

【详解】因为，所以，

故，由向量的模长公式得，，

且设的面积为，则.

故答案为：5

14.如图，在平面四边形中，，，，且，则___________，若是线段上的一个动点，则的