2024年北京市昌平区高三二模数学试卷及答案.docx

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2024北京昌平高三二模

数学

本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合，则（）

A． B． C． D．

2．已知数列满足，则数列的前4项和等于（）

A．16 B．24 C．30 D．62

3．已知抛物线的焦点和双曲线的右顶点重合，则的值为（）

A．1 B．2 C．4 D．6

4．在的展开式中，常数项为（）

A．－15 B．15 C．30 D．360

5．若，则（）

A． B． C． D．

6．若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

7．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

9．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（）

（参考数据：）

A． B． C．6min D．

10．已知数列满足，该数列的前项和为，则下列论断中错误的是（）

A． B．

C．非零常数，使得 D．，都有

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．已知复数，则______．

12．已知中，，则______．

13．已知正方形的边长为1，点满足．当时，______；当______．时，取得最大值．

14．已知：设函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，若，则在区间内无零点．能说明为假命题的一个函数的解析式是______．

15．已知曲线为坐标原点．给出下列四个结论：

①曲线关于直线成轴对称图形；

②经过坐标原点0的直线与曲线有且仅有一个公共点；

③直线与曲线所围成的图形的面积为；

④设直线，当时，直线与曲线恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是______．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．本小题13分

已知函数的图像经过点．

（I）求实数的值，并求的单调递减区间；

（II）当时，恒成立，求实数的取值范围．

17．本小题14分

如图，在棱长均为2的四棱柱中，点是的中点，交平面于点．

（I）求证：点为线段的中点；

（II）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得四棱柱存在且唯一确定．

（i）求二面角的余弦值；

（ii）求点到平面的距离．

条件①：平面；

条件②：四边形是正方形；

条件③：平面平面．

注：如果选择的条件不符合要求，则第II问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

18．（本小题13分）

某行业举行专业能力测试，该测试由三项组成，每项测试成绩分为合格和不合格，三项测试结果相互独立．当三项测试成绩均合格时，认定分为10分；当项测试成缨合格，且两项中恰有一项成绩合格时，认定分为5分；当项测试成?不合格，且两项测试成绩都合格时，认定分为2分；其它测试成绩，认定分为0分．

甲在参加该专业能力测试前进行了20次模拟测试，测试成绩合格的频数统计如下表：

测试项

频数

16

15

10

用频率估计概率．

（I）试估计甲参加该专业能力项测试成绩合格的概率；

（II）设表示甲获得的认定分，求的分布列和数学期望；

（III）若乙参加该专业能力测试，三项测试成绩合格的概率均为．试估计甲、乙两人获得认定分的大小，并说明理由．

19．本小题15分

已知椭圆的离心率为，短轴长为．

（I）求椭圆的方程；

（II）设是椭圆的左、右顶点，是椭圆的右焦点．过点的直线与椭圆相交于两点（点在轴的上方），直线分别与轴交于点，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由．

20．（本小题15分）

已知函数．

（I）求曲线在点处的切线方程；

（II）求在区间上的最小值；

（III）若，当时，求证：．

21．本小题15分

已知为有穷正整数数列，，且．从中选取第项，第项，，第项，称数列，为的长度为的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列．

若对于任意的正整数，数列存在长度为的子列，使得，则称数列为全覆盖