第53讲：传统方法求角度与距离（原卷版）-2025年高考数学必刷题5000题.pdf

53第讲传统方法求角度与距离

知识点1：线与线的夹角知识梳理

平行直线

共面直线



(1)位置关系的分类：

相交直线



(2)异面直线所成的角异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成

的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

π

②范围：(0，]

2

③求法：平移法：将异面直线a，b平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．

知识点2：线与面的夹角

①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．

π

②范围：[0，]

③求法：2

常规法：过平面外一点B做BB⊥平面α，交平面α于点B；连接AB，则∠BAB即为

BB

直线AB与平面α的夹角．接下来在Rt△ABB中解三角形．即sin∠BAB=AB=

h(其中h即点B到面α的距离，可以采用等体积法求h，斜线长即为线段AB的长度)；

斜线长

知识点3：二面角

(1)二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为

二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．(二面角α-l-β或者是二面角A-CD-B)

(2)二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分

别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围[0，π]．

(3)二面角的求法

法一：定义法

在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面

角的平面角，如图在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内

作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角(当然两条

垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可)．

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法二：三垂线法

在面α或面β内找一合适的点A，作AO⊥β于O，过A作AB⊥c于B，则BO为斜线

AB在面β内的射影，∠ABO为二面角α-c-β的平面角．如图1，具体步骤：

①找点做面的垂线；即过点A，作AO⊥β于O；

②过点(与①中是同一个点)做交线的垂线；即过A作AB⊥c于B，连接BO；

③计算：∠ABO为二面角α-c-β的平面角，在Rt△ABO中解三角形．

图1图2图3

法三：射影面积法

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的

S射S△ABC

都可利用射影面积公式(cosθ=S斜=S△ABC，如图2)求出二面角的大小；

法四：补棱法

当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确

的交线(称为补棱)，然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，

也可直接用法三的摄影面积法解题．

法五：垂面法

由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所

成的角，就是二面角的平面角．

例如：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于