第55讲 立体几何中的压轴小题（解析版）-2025年高考数学必刷题5000题.pdf

55第讲立体几何中的压轴小题

必考题型全归纳

1题型一：球与截面面积问题

2825(2024·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O



的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为62的正三角形，PA=3PE，BA=3BF，

∠CEF=90°，过点E作球O的截面，截面面积最小值为()

A.8πB.16πC.27πD.40π

【答案】A

【解析】∵PA=PB=PC，△ABC为边长为62的等边三角形，∴P-ABC为正三棱

锥，

取AC的中点M，连接BM、PM，则PM⊥AC,BM⊥AC，PM∩BM=M，

PM、BM⊂平面PBM，所以AC⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以PB⊥AC，



又PA=3PE，BA=3BF，∴EF⎳PB，∴EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC=C，

CE、AC⊂平面PAC，∴EF⊥平面PAC，PB⊥平面PAC，

∴∠BPA=90°，∴PA=PB=PC=6，

∴P-ABC为正方体PBDC-ABDC的一部分，

111

1

可得外接球的半径为R=36+36+36=33，

2

取AP的中点H，连接OH、AD，1

12

可得OH=AD=32，EH=1，所以OE=19，1

2

过点E作球O的截面，设截面与棱PA、PC、PD的交点分别为E、Q、G，

当OE垂直EQG时截面面积最小，此时E即为截面圆的圆心，

222

截面圆半径为r=R-OE=8，截面面积为8π.

故选：A．

2826(2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)四面体ABCD的四个顶点

第1753页共3427页

都在球O的球面上，AB=BC=CD=DA=4，AC=BD=22，点E，F，G分别为棱

BC，CD，AD的中点，现有如下结论：①过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面

163

的面积为2；②四面体ABCD的体积为；③过E作球O的截面，则截面面积的最大

3

值与最小值的比为5：4.则上述说法正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】选项①中，如图(1)所示，找AB的中点H，过点E，F，G做四面体ABCD的截面

即为面EFHG，

则EG⎳AC⎳FH,EG⎳BD⎳GH，所以四边形EFHG为平行四边形，

找AC的中点O,连接OD,OB，因为AB=BC=CD=DA=4，所以DO⊥AC,BO⊥

AC,DO∩BO=O,DO,BO⊂平面BOD，

所以AC⊥平面BOD，BD⊂平面BOD，

所以AC⊥BD，所以EG⊥EF，

11