向量与矩阵的范数.pptVIP

第一章第一节函数第一章第一节函数第二章范数理论2.1向量范数定义：若对任意都有一个实数与之对应，且满足：（1）非负性：当只有且仅有当（2）齐次性：为任意数。（3）三角不等式：对任意，都有则称为上向量的范数，简称向量范数。例：在维线性空间中，对于任意的向量定义证明：都是上的范数，并且还有Holder不等式：设引理设均为非负实数，则总有01证：令，，其中02代入上述不等式，则有Minkowski不等式：设01则对任何都有0201证明以代入下式02则对上式由Holder不等式可得此不等式两端同除以，根据可得定义：设向量，对任意的数，称为向量的范数。1－范数2－范数(也称为欧氏范数)－范数几种常用的范数01利用向量范数可以构造新的向量范数。03，则由02例1设是上的向量范数，且04所定义的是上的向量范数。0102定义设是上定义的两种向量范数，如果存在两个正数使得则称向量范数等价。定理上的任意两个向量范数都是等价的。定义：给定中的向量序列，其中如果则称向量序列收敛于简称收敛，记为不收敛的向量序列称为是发散的。向量范数的应用：定理：中的向量序列收敛于的充要条件是对于上的任意一种向量范数，都有。01证明：设则有可见的充要条件是对于上的任意一种向量范数，由等价性知02从而的充要条件是。03定义对于任何一个矩阵，都有一个实数与之对应，且满足（1）非负性：当，当且仅当（2）齐次性：为任意复数。（3）三角不等式：对任意都有2.2矩阵范数（4）相容性：对于任意，都有则称是矩阵的范数。例1对于任意，定义01可以证明如此定义的为矩阵的范数。02证明只需要验证此定义满足矩阵范数的四条性质即可。非负性，齐次性与三角不等式容易证明。现在我们验证乘法的相容性。设