2025年高考数学高考数学二轮热点题型技巧全攻略(新高考通用)专题05数列常考题型全归纳(七大题型)(学生版+解析).docxVIP

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专题05数列常考题型全归纳

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TOC\o1-1\h\u题型01裂项相消求和（含根式与指数型） 1

题型02错位相减求和 3

题型03分组、并项求和（不含奇偶项） 4

题型04倒序相加求和 5

题型05含绝对值求和 6

题型06关于奇偶项求和 7

题型07数列与不等式（含数学归纳法） 8

题型01裂项相消求和（含根式与指数型）

【解题规律·提分快招】

一、裂项技巧

①等差型

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

②根式型

（1）

（2）

（3）

③指数型

（1）

（2）

（3）

【典例训练】

一、解答题

1．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，，记．

(1)求证：是等差数列；

(2)若，求证：．

2．（2024·湖南长沙·模拟预测）数列为等差数列，为正整数，其前n项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，．

(1)求；

(2)求证：．

3．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知等差数列的首项，且满足.

(1)求数列的通项；

(2)若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数.

4．（24-25高三上·湖南娄底·期末）已知数列满足：，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前n项和为，若，求证：.

5．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知数列中，，为数列的前n项和，满足

(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和

题型02错位相减求和

【解题规律·提分快招】

一、错位相减法求数列的前n项和

（1）适用条件

若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．

（2）基本步骤

（3）注意事项

①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；

【典例训练】

一、解答题

1．（24-25高三下·河南·开学考试）已知为数列的前n项和，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

2．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)已知，求数列的前项和.

3．（2024高三·全国·专题练习）已知各项均为正数的数列满足，且.

(1)写出，并求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前项和.

题型03分组、并项求和（不含奇偶项）

【解题规律·提分快招】

一、分组求和的常见类型

二、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．

【典例训练】

一、解答题

1．（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知正项数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列前项的和.

2．（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）已知数列满足.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

3．（2025·湖北·模拟预测）已知数列是等差数列，且，.

(1)求的通项公式.

(2)试问有多少项为整数？

(3)求数列的前n项和.

4．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知数列的前项和．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

题型04倒序相加求和

【解题规律·提分快招】

将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．

【典例训练】

一、解答题

1．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)求的值；

(3)求的值.

2．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，令，求数列的前2024项和.

3．（2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设．

（ⅰ）求数列的通项公式；

（ⅱ）求．

题型05含绝对值求和

【解题规律·提分快招】

一、数列绝对值求和

1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有

2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有

【典例训练】

一、解答题

1．（23-24高三上·贵州·阶段练习）记等差数列的前项和为，已知，.

(1)求的通项公式；

(2)记数列的前项和为，求.

2．（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，．

(1)求数列的通项公式．

(2)若，求数列的前n项和．

3．（24-25高三上·河北衡水·