2025年高考数学高考数学二轮热点题型技巧全攻略(新高考通用)专题07立体几何常考题型全归纳(五大题型)(学生版+解析).docxVIP

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专题07立体几何常考题型全归纳

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TOC\o1-1\h\u题型01线面角 1

题型02线面角中的探索性问题 1

题型03二面角、面面角 2

题型04二面角、面面角中的探索性问题 2

题型05距离问题（含等积法） 2

题型01线面角

【解题规律·提分快招】

一、用向量运算求直线与平面所成角

设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有

①

②.（注意此公式中最后的形式是：）

【典例训练】

一、解答题

1．（24-25高三下·湖北·开学考试）如图，在三棱柱中，，四边形，均为菱形，平面底面，平面底面，M是延长线上一点，且，D为中点，连接.

(1)证明：平面；

(2)取中点Q，求与平面夹角的正弦值.

2．（24-25高三下·湖南·开学考试）如图四棱锥中，平面，．

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

3．（2025·山东·模拟预测）如图所示的多面体是由正四棱台和正四棱柱（正四棱柱下底面与正四棱台上底面重合）构成．已知，是上一动点．

(1)证明：；

(2)若，求直线与平面所成角的余弦值．

4．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，．

(1)当时，求证：平面平面；

(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值．

题型02线面角中的探索性问题

【典例训练】

一、解答题

1．（2025·四川德阳·二模）如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，．

(1)证明：平面平面；

(2)若直线与平面所成角的正切值为，求二面角夹角的余弦值．

2．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）如图，四棱锥的底面是边长为3的正方形，，.

(1)证明：平面；

(2)已知点在线段上，且（），若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.

3．（24-25高三上·天津西青·期末）如图，在三棱锥中，平面，点在棱上，且为棱的中点.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)在线段上是否存在点满足直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

4．（24-25高三上·河南·期末）如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足平面.

(1)证明：平面；

(2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.

题型03二面角、面面角

【解题规律·提分快招】

一、用向量运算求平面与平面的夹角

如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.

若分别为面，的法向量

①

②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；

若二面角为锐二面角（取正），则；

若二面角为顿二面角（取负），则；

【典例训练】

一、解答题

1．（2025·山西·一模）如图，已知四棱锥中，底面为菱形，，，平面，分别是的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)求二面角的正弦值．

2．（24-25高三下·河北·开学考试）在平面四边形中,

将沿AC翻折至且满足

(1)求证：平面

(2)求二面角的正弦值.

3．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）如图，过球心，图中画出的以为直径的圆记为圆O，C为圆上不同于，的动点，是球面上不在圆上的动点，为的重心，在线段上且．

??

(1)证明：平面；

(2)当三棱锥体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值．

4．（2025·山东·模拟预测）如图①，在等腰梯形中，为边的中点．将沿翻折，使点到达点的位置，得到四棱锥，如图②．

(1)证明：在翻折过程中，始终满足；

(2)当时，求平面与平面夹角的正弦值．

题型04二面角、面面角中的探索性问题

【典例训练】

一、解答题

1．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，和都垂直于平面，且，是线段上一点.

(1)若平面，证明是的中点；

(2)若，，平面与平面夹角的余弦值为，求.

2．（24-25高三上·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且平面为棱的中点，为棱上的动点.

(1)求证：平面平面.

(2)是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.

3．（2024·江西上饶·一模）如图1，在矩形中，，连接，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2，若点在线段上且.

(1)求证：平面；

(2)若点在线段上，且使得平面与平面夹角的余弦值为，求.

4．（2024·全国·一模）如图，在三棱锥中，平面为棱上的动点．

(1)求证：平面；

(2)是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由．

题型05距离问题（含等积法）