第84讲 成对数据的统计分析（解析版）-2025年高考数学必刷题5000题.pdf

84第讲成对数据的统计分析

知识点一、变量间的相关关系知识梳理

1、变量之间的相关关系

当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则这两个变量之间的关系叫相关关

系．由于相关关系的不确定性，在寻找变量之间相关关系的过程中，统计发挥着非常重要的

作用．我们可以通过收集大量的数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，对

它们的关系作出判断．

注意：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确定的

关系，而且函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．

2、散点图

将样本中的n个数据点(x,y)(i=1,2,⋅⋅⋅,n)描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点图．

ii

根据散点图中点的分布可以直观地判断两个变量之间的关系．

(1)如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我

们将它称为正相关，如图(1)所示；

(2)如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我

们将它称为负相关，如图(2)所示．

3、相关系数

若相应于变量x的取值x，变量y的观测值为y(1≤i≤n)，则变量x与y的相关系数r=

nini

(x-x)(y-y)xy-nxy

ni=1ini=ni=1iin，通常用r来衡量x与y之间的线性

222222

(x-x)(y-y)x-nxy-ny

i=1ii=1ii=1ii=1i

关系的强弱，r的范围为-1≤r≤1．

(1)当r0时，表示两个变量正相关；当r0时，表示两个变量负相关．

(2)r越接近1，表示两个变量的线性相关性越强；r越接近0，表示两个变量间几乎不存在



线性相关关系．当|r|=1时，所有数据点都在一条直线上．

(3)通常当r0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系．



知识点二、线性回归

1、线性回归

线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系(相关关系)的方法．



对于一组具有线性相关关系的数据(x，y)，(x，y)，⋯，(x，y)，其回归方程y=bx+

1122nn

a的求法为

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nn

(x-x)(y-y)xy-nxy

i=1iii=1ii

b=n2=n22

(x-x)x-nx

i=1ii=1i



a=y-bxnn

11

其中，x=x，y=y，(x，y)称为样本点的中心．

ni=1ini=1i

2、残差分析

对于预报变量y，通过观测得到的数据称为观测值y，通过回归方程得