第85讲 计数原理（解析版）-2025年高考数学必刷题5000题.pdf

85第讲计数原理

知识点1、分类加法计数原理知识梳理

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的办法，在第2类办法中有m种

12

不同的方法，⋯，在第n类办法中有m种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m+m+

⋯+m种不同的方法．n12

n

知识点2、分步乘法计数原理

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有m种不同的

12

方法，⋯，做第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m⋅m⋅⋯⋅m种不同的

方法．n12n

注意：两个原理及其区别

分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有n类办法，这n类办法之间是互

斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理．

分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题．如果完成某件事情有n

个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响(独立)，当且仅当依次完成这n个步骤后，这

件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理．

当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能

同时用到两个计数原理．即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数

可能会采取分类的思想求方法数．对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到

不同的解法(但方法数相同)，这也是检验排列组合问题的很好方法．

知识点3、两个计数原理的综合应用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类

计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告

完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．

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必考题型全归纳

1题型一：分类加法计数原理的应用

4668(2024·全国·高三专题练习)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一

个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的

“正交线面对”的个数是()

A.48B.18C.24D.36

【答案】D

【解析】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线，

对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12=

24(个)；

对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有

12个，

不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直，

所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36(个).

故选：D

4669(2024·四川成都·双流中学校考模拟预测)如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连

线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信

息量．现从结点A向结点B传递信息()

A.26B.24C.20