第88讲：随机事件、频率与概率（原卷版）-2025年高考数学必刷题5000题.pdf

88第讲随机事件、频率与概率

知识点1、随机试验知识梳理

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．

我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：

(1)试验可以在相同条件下重复进行；

(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．

知识点2、样本空间

我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E

的样本空间，一般地，用．Ω．表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可

能结果ω，ω，⋯，ω，则称样本空间Ω=ω,ω,⋯,ω为有限样本空间．

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知识点3、随机事件、确定事件

(1)一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为

了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事

件称为基本事件．当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．

(2)Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以

Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．

(3)空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为不可能事件．

(4)确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件．

知识点4、事件的关系与运算

①包含关系：一般地，对于事件A和事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时

称事件B包含事件A(或者称事件A包含于事件B)，记作B⊇A或者A⊆B．与两个集合的

包含关系类比，可用下图表示：

不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件．

②相等关系：一般地，若B⊇A且A⊇B，称事件A与事件B相等．与两个集合的并集类

比，可用下图表示：

③并事件(和事件)：若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事

件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A+B)．与两个集合的并集类比，可用

下图表示：

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④交事件(积事件)：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事

件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)．与两个集合的交集类比，可用下图

表示：

知识点5、互斥事件与对立事件

(1)互斥事件：在一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，即A∩B=∅，则称事件A

与事件B互斥，可用下图表示：

如果A，A，⋯，A中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A，．A．，⋯，A

彼此互斥．12n12n

(2)对立事件：若事件A和事件B在任何一次实验中有且只有一个发生，即A∪B=Ω不



发生，A∩B=∅则称事件A和事件B互为对立事件，事件A的对立事件记为A．

(3)互斥事件与对立事件的关系

①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生

外，还要求二者之一必须有一个发生．

②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的

必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．

知识点6、概率与频率

(1)频率：在n次重复试验中，事件A发生的次数k称为事件A发生的频数，频数k与总

次数n的比值k，叫做事件A发生的频率．

nk

(2)概率：在大量重复尽心同一试验时，事件A发生的频率n总是接近于某个常数，并且

在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)．