专题10 新定义型.docx

重难点题型分类专题10新定义型

重难点题型分类

【题型1：二次根式中的新定义题】【题型2：勾股定理中的新定义题】

【题型3：平行四边形中的新定义题】【题型4：一次函数中的新定义题】

【题型5：压轴真题】

题型1二次根式中的新定义题

题型1

1．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络有哪些信誉好的足球投注网站，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：

对于两个数a，b，称为a，b这两个数的算术平均数．

称为a，b这两个数的几何平均数，称为a，b这两个数的平方平均数．

小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程

(1)若，则_____，_____，_____；

(2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：

如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示．

①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形；

②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）．

2．对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下：

如：，．

根据上述定义，解决下列问题：

(1)______，______；

(2)若，求x的值．

3．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，求的值，可以这样解答：

因为，所以．

(1)代数式中x的取值范围是______；

(2)已知：，求：

①_____；

②结合已知条件和第①问的结果，解方程：．

4．小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形：

（一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：

；

．

（二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：

，，；

再根据平方根的定义可得：

，，；

请回答下列问题：

(1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．

①______；（n为正整数）=______．

②______；当时，化简______．

(2)应用：求；的值．

(3)拓广：求的值．

5．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为

，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．

例如：已知，求的值，可以这样解答：

因为，

所以．

(1)已知：，求：

①________；

②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；

(2)代数式中的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________；

(3)计算：．

题型2勾股定理中的新定义题

题型2

1．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形．

(1)若三边长分别是2，和4，则此三角形______常态三角形（填“是或“不是”）；

(2)在中，，，若是常态三角形，则______．

(3)如图，在中，，，点D在线段上，连接且，若是常态三角形，求的面积．

2．定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“神圣三角形”．

(1)下列三角形一定是“神圣三角形”的是（????）

A．直角三角形????B．等腰三角形????C．等腰直角三角形????D．等边三角形

(2)如图1，是“神圣三角形”，且．若正方形和正方形的面积分别是8和26，则正方形的面积是______．

(3)如图2，在四边形中，，，E是四边形外一点，且，．求证：是“神圣三角形”．

(4)若是“神圣三角形”，且一条直角边长为，则斜边长为______．

3．定义：若两个等腰三角形的顶角之和等于，则称这两个等腰三角形互为“友好三角形“，这两个顶角的顶点互为”友好点“．

??

(1)已知与互为“友好三角形”，点B和点E互为“友好点”．

①若一个内角为，则°

②若一个内角为，则_____

(2)如图1，直线．直线与之间的距离为2，直线与的距离4．A，B为直线上两点，O为直线上一点，C，D为直线上两点，与互为“友好三角形”，0为与的友好点．，，求的值．

(3)在（2）的条件下，与大小保持不变，将绕着点O顺时针旋转一定角度到如图（2）位置，则旋转过程中，判断的值是否变化？并说明理由．

4．定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，与都是等腰三角形，其中，则．

(1)如图②，与都是等腰三角形，，，且，求证：．

(2)如图③若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中上的高，连接，求的度数