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二项式定理与数列求和

一、解答题

1．某学校即将参加一场重要的篮球比赛，通过比赛获得荣誉，不仅能为学校争光，也能为

自己的高中生活增添一抹亮丽的色彩.现要从名学生中选出名组成代表队，其中名作为

主力队员，−名作为替补队员.设选出代表队的不同方法种数为.

(1)求出的的值（用组合数表示）；

=

=

(2)已知∑∑=∑=(1+2+⋯+)=(11+12+⋯+1)+(21+

=1

=1

=1

)()

22+⋯+2+⋅⋅⋅+1+2+⋅⋅⋅+.当=，=时，记选出代表队的不同方法种

∑=∑=

数为，求=1=1；

(3)当为偶数时，求∑=∑=被4除的余数.

=1=1

【答案】(1)=CC

(2)3−2

(3)1

【分析】（1）利用分步乘法计数原理计算即可；

（2）利用组合数性质及已知公式结合二项式定理计算即可；

（3）利用（2）的结论及二项式定理计算即可.

【详解】（1）由题意可知：=CC；

∑=∑=()()

（2）由已知公式知=++⋯++++⋯++⋯+

=1=11112121222

(++⋯+)

12

=C1C1+C2(C1+C2)+C3(C1+C2+C3)+⋯+C(C1+C2+⋯+C)

122333

(1)1(2)2()1122(12

=2−1C+2−1C+⋯+2−1C=2C+2C+⋯+2C−C+C+⋯+

)1122

C=2C+2C+⋯+2C−2+1

=C01×20+C11−1×21+C21−2×22+⋯+C10×2−2=3−2；