小几何——综合 圆 2025.4 详解.docx

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2025年4月1日初中数学作业

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是；的长度是．

【答案】//

【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，根据勾股定理求出，则，由切线的性质得到，则可证明，解直角三角形即可求出；连接，由平行线的性质得到，再由，，推出，得到，则．

【详解】解：∵是的直径，

∴，

在中，由勾股定理得，

∴，

∵是的切线，

∴，

∴，

∴，

在中，；

如图所示，连接，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴；

故答案为：；．

【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等等，证明是解题的关键．

2．如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是；的长度是．

【答案】

【分析】本题考查圆周角定理及其推论，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．利用圆周角定理和切线定义即可求出和，根据勾股定理即可求出的长度，利用三角形相似线段成比例即可求的长度；利用圆周角定理和平行线性质得出，可得，即可求出．

【详解】解：∵是的直径，是的切线，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵，，，

∴，

∴；

∵，

∴，

又∵，，

∴，

∴，

∴，

故答案为：；．

3．如图，平行四边形的顶点A、B和对角线交点F均在上，与相切于点B，边经过圆心O且交于点E，若半径，则线段，线段．

【答案】/

【分析】如图：连接，根据切线的性质得到，根据平行四边形的性质得到，得到，根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，最后根据勾股定理计算即可．

【详解】解：如图：连接，，

∵与相切于点B，

∴，

∵四边形为平行四边形，

∴，，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴，

∴．

故答案为：，．

【点睛】本题主要考查的是切线的性质、平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识点，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

4．如图，与相切于点垂直平分，交于点，连接并延长交于点，连接，若半径为，则线段；．

【答案】

【分析】连接，，，，过点D作于点G，由题意得，然后可得，，进而可得，，最后根据相似三角形的性质可进行求解．

【详解】解：连接，，，，过点D作于点G，如图所示：

∴，，

∵垂直平分，

∴，互相垂直平分，

∴四边形是菱形，

∴，

∴，是等边三角形，

∴，，

∴，

∴，

∵是的切线，

∴，

∴，

∴，，

∴，，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

故答案为：，．

【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、三角函数、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定、三角函数、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．

5．如图，是的外接圆，是的直径，AD与相切，且与的延长线交于点D，过点C作分别交，于F，G两点，若，则；且，则．

【答案】5

【分析】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，连接，根据切线的性质和圆周角定理得出，由平行线的性质可得，从而得出，再证明，根据相似三角形的性质得出；由得，设，则，在中，由勾股定理得，可得，连接，设，得，由勾股定理得，从而可求出．

【详解】解：连接，如图，

∴，

∵是的直径，

∴

∴

∵是的切线，

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

又

∴

∴

∴,

∴（负值舍去）；

∵，

∴设，则，

在中，

∴，

解得，

∴，

连接，设，

∴，

在中，，

∴，

解得，，

∴，

∴，

故答案为：5；．

6．如图，在中，，，以为直径的与相交于点，过点作的切线，交于点，连接．若四边形为平行四边形，则的长为；若为上一点，连接，则的面积为．

【答案】

【分析】连接，证明四边形是矩形得，得到，从而利用勾股定理即可求出的长；过点作于点，由勾股定理得，再由三角函数得，，从而得，由，得，进而构造方程即可得解．

【详解】解：连接，