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河北省昌黎第一中学2025届高三上学期期末
数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=xx2?60,B=x
A.1,6 B.0,6 C.
2.若z2?i=z+2i3,则z
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量a=1,3,b=?2,4,且a在b上的投影为
A.5 B.6 C.2
4.已知α+β=π3,且sin2α+π6
A.13 B.23 C.38
5.已知圆柱的底面半径等于球O的半径,圆柱的侧面积与球O的表面积之比为12,则圆柱外接球的体积与球O的体积之比为(????)
A.334 B.338
6.已知定义在R上的函数fx满足:fx+1为偶函数,fx+2?2为奇函数,且f3
A.0 B.2 C.4 D.6
7.已知函数fx=2sinx?cosx在0,θ上的值域为?1,
A.?12,2 B.?2,43
8.已知函数fx=2x?a+x?1?4恰好有
A.?2,1 B.?3,1 C.?3,?2 D.?2,0
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知2x?1n=anx+1n
A.i=0nai=1 B.a0=1
10.已知数列an的前n项和为Sn=nn+12,bn=tana
A.2Sn=anan+1 B.
11.由坐标原点O向双曲线y=kx(k0)的各条切线作垂线,垂足对应的轨迹曲线C如下图所示,若k=2,点Px,y(xy0)在曲线C上,则
A.C的方程为x2+y22=4xy B.曲线C关于直线y=x对称
C.点P到两坐标轴距离之积的最大值为2 D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.曲线fx=xcosx在0,0处的切线被圆C:x?1
13.已知P是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)上第一象限内的点,M在y轴的正半轴上,连接PM,并延长与x轴交于点N,且M恰好为PN的中点,点P关于x轴的对称点为Q,连接QM,设直线PM,QM的斜率分别为k1
14.2024年6月中专生姜萍以93分全球第12名的成绩入围全球数学竞赛决赛,成为社交媒体上的热门话题,也使数学竞赛成为各大高校关注的焦点.某高校借此热度在数学系举行了模拟数学竞赛,经过选拔之后组织了甲、乙两个竞赛队进行冠亚军争夺赛.比赛时,主持人先展示出一道题目,再从标有1,2,3,4的四张卡片中随机抽取一张,若数字为奇数,则由甲队答题,若数字为偶数,则由乙队答题,在规定时间内,若答对本题,则本队得10分,否则对手得10分.按照这种方式依次进行下一题的答题,直到其中一个队的得分超过另一个队30分,比赛结束,分高者为冠军.已知甲、乙答对每道题的概率分别为59、49,且互不影响,前3道题,甲队获得20分的概率为??????????,若第一个问题甲队得10分,恰好回答完第7道题后决出冠军,则乙队获得冠军的概率为??????????
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinB+cosC=0
(1)求C;
(2)若a=2,记∠BAC的角平分线与BC交于点D,求AD.
16.(本小题12分)
如图,在三棱锥P?ABC中,O为AC的中点,D在线段PC上.已知PA=PC,AB=BC=2,∠ABC=120
(1)求证:平面POB⊥平面ABC;
(2)是否存在点D,使二面角D?AB?C的正切值为235?若存在,求出
17.(本小题12分)
已知函数f
(1)若m=?2,求证:fx
(2)当x∈0,+∞时,不等式fx≤2x+5恒成立,求
18.(本小题12分)
已知双曲线E:x2a2?y2b2
(1)求E的方程;
(2)过直线x=22上一点P,作双曲线E的两条切线,切点分别为A,B
(i)求证:直线AB过定点,并求出定点的坐标;
(ⅱ)已知点P在第一象限,A,B分别在第一、四象限,若?PAB的面积为5306,求直线
19.(本小题12分)
若对?n∈N?,都有an?bn≤k
(1)设an的前n项和Sn=1?12n,b1
(2)若an=2n,
(3)已知ai,bi∈1,2,3,4i=1,2,3,4,由数列an的所有项组成的集合M中恰好有2个元素,若an
参考答案
1.B?
2.D?
3.A?
4.B?
5.C?
6.D?
7.B?
8.C?
9.AD?
10.AC?
11.BCD?
12.2
13.2
14.100243?;
15.(1)因为c=
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