2025届高考数学二轮复习微专题9　点、线、面的位置关系.docxVIP

《全品高考第二轮专题》

微专题9点、线、面的位置关系

1.对于判断线、面位置关系的选填题,主要是应用画图的方式结合线、面的平行、垂直的判定定理和性质定理进行判断.

2.对于线、面位置关系的解答题证明,要能够根据相关定理内容,选择相应的线、面关系进行求解,注意步骤要规范、严谨.

1(多选题)[2024·湖南衡阳三模]设α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法正确的是 (AD)

A.若m⊥α,m⊥β,则α∥β

B.若α∥β,m?α,n?β,则m∥n

C.若n∥α,m⊥n,则m⊥α

D.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n

[解析]对于选项A,若m⊥α,m⊥β,则α∥β,所以A正确;对于选项B,若α∥β,m?α,n?β,则m与n平行或异面,所以B不正确;对于选项C,若n∥α,m⊥n,则m与α可能平行、相交或m在平面α内,所以C不正确;对于选项D,设直线m的一个方向向量为m,直线n的一个方向向量为n,因为m⊥α,n⊥β,所以m是平面α的一个法向量,n是平面β的一个法向量,因为α⊥β,所以m⊥n,所以m⊥n,所以D正确.故选AD.

2(多选题)[2024·河南周口四校联考]设α,β为互不重合的两个平面,m,n为互不重合的两条直线,则下列说法正确的是 (ABD)

A.若α∥β,m∥n,m⊥α,则n⊥β

B.若m,n为异面直线,且m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β

C.若m,n与α所成的角相等,则m∥n

D.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n

[解析]对于A,由α∥β,m⊥α得m⊥β,又m∥n,所以n⊥β,故A正确;对于B,如图①,在空间取一点O,过点O作m,n,使m∥m,n∥n,则m与n确定一个平面γ,由m∥α,n∥α,得m∥α,n∥α,又m∩n=O,所以α∥γ,同理得γ∥β,所以α∥β,故B正确;

对于C,当m,n相交,且都与α平行时,m,n与α所成的角相等,此时m与n不平行,故C错误;对于D,设α∩β=l,在l上取一点O,过O在β内作直线m,使得m⊥α,则m∥m或m,m重合,过O在α内作直线n,使得n⊥β,则n∥n或n,n重合,如图②,显然m⊥n,则m⊥n,故D正确.故选ABD.

3金刚石也被称作钻石,是天然存在的最硬的物质,可以用来切割玻璃,也用作钻探机的钻头.金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形.正八面体由八个全等的等边三角形围成,且对角面(如面ABCD)都是正方形.

(1)证明:AE∥平面CDF.

(2)证明:四棱锥E-ABCD是正四棱锥.

(3)平面ABE与平面BCE是否垂直?如果垂直,请证明;如果不垂直,请说明理由.

解:(1)证明:由题意可知,对角面AFCE是正方形,所以AE∥CF,

又因为AE?平面CDF,CF?平面CDF,所以AE∥平面CDF.

(2)证明:如图①,连接AC,BD,设AC∩BD=O,连接EO,

则AO=BO=CO=DO,

因为EA=EB=EC=ED,所以EO⊥AC,EO⊥BD,

又因为AC?平面ABCD,BD?平面ABCD,且AC∩BD=O,

所以EO⊥平面ABCD,

所以四棱锥E-ABCD是正四棱锥.

(3)平面ABE与平面BCE不垂直,理由如下:

如图②所示,取BE的中点G,连接AG,GC,

根据等边三角形的性质可知AG⊥EB,CG⊥EB,

所以∠AGC是二面角A-BE-C的平面角.

设该正八面体的棱长为a,

则AC=2a,AG=GC=32a

在△AGC中,AG2+GC2=32a2≠AC2

所以∠AGC≠90°,所以平面ABE与平面BCE不垂直.