2025届高考数学二轮复习微专题17　圆锥曲线的方程与性质.docxVIP

《全品高考第二轮专题》

微专题17圆锥曲线的方程与性质

焦点三角形面积和最大张角问题,通常会对焦点三角形进行求解.

1[2024·陕西商洛模拟]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长为20,离心率为35,左、右焦点分别为F1,F2,若C上的点P满足∠F1PF2=π3,则

A.6433 B

C.12833 D

[解析]由题知2a=20,ca=35,b2+c2=a2,可得a=10,b=8,c=6,所以椭圆C:x2100+y264=1.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=20,所以|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=400①,在△F1PF2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|×cosπ3=144②,由①②可得|PF1|·|PF2|=256

2[2024·广东佛山模拟]已知圆C1:x2+y2=b2(b0)与双曲线C2:x2a2-y2b2=1(a0,b0),若存在点P在双曲线C2上,使得过点P作圆C1的两条切线,切点分别为A,B,且∠APB=π3

A.1,52

C.(1,3] D.[3,+∞)

[解析]由∠APB=π3,得|PO|=bsin∠APB2=bsinπ6=2b(O为原点),则双曲线C2与圆x2+y2=4b2有交点,所以a≤2b,即ba≥12,所以e=ca=a2+b2a

3[2024·天津红桥区二模]过抛物线y2=35x的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,抛物线的准线与x轴交于点C,若AF=3FB,则△ABC的面积为 (B)

A.1534 B

C.1574 D

[解析]设抛物线的准线为l,过点A作AM⊥l于点M,过点B作BN⊥l于点N,过点B作BK⊥AM于K,BK交CF于点D.设|BF|=m,因为AF=3FB,所以|AF|=3m,所以|AB|=4m,所以|AK|=|AM|-|BN|=|AF|-|BF|=2m,在Rt△AKB中,cos∠BAK=|AK||AB|=2m4m=12,所以∠BAK=60°,因为AM∥CF,所以∠OFB=60°,又|BF|=m,所以|FD|=12m.由y2=35x,可得|CF|=352,所以|CF|=|BN|+|DF|=|BF|+|DF|=3m2=352,所以m=5,所以|BK|=|AB|sin60°=215,所以S△ABC=S△AFC+S△BFC=1